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{{NoteTA|G1=Math}}

[[数学]]中，特別是[[群論]]中，[[群]]<math>G</math>的[[子群]]<math>H</math>能夠將<math>G</math>中的元素[[集合劃分|劃分]]為若干個互不相交的[[子集]]，這些子集稱為<math>H</math>的'''陪集'''（{{lang-en|Coset}}）。陪集中又有左陪集和右陪集。<math>H</math>的陪集（不分左右）的[[基數|大小]]與<math>H</math>的相等。<math>H</math>同時是自身的左陪集和右陪集。左陪集的數量與右陪集的數量相等。子群<math>H</math>陪集的個數稱為<math>H</math>在<math>G</math>中的'''指數'''，記為<math>[G : H]</math>。

陪集是研究群的基本工具。如在[[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]中，利用子群的概念證明了[[有限群]]<math>G</math>中每一個子群的元素個數[[整除]]<math>G</math>的元素個數。對特定的子群（[[正規子群]]），它的陪集可以作為另一個群的元素存在，衍生出[[商群]]的概念。

== 定義 ==
若<math>G</math>為一個群，<math>g</math>为<math>G</math>中元素，则
:<math>gH = \{gh | h \in H\}</math>为<math>H</math>在<math>G</math>中的'''左陪集'''，
:<math>Hg = \{hg | h \in H\}</math>为<math>H</math>在<math>G</math>中的'''右陪集'''。
左陪集與右陪集不必相等，<math>H</math>所有的左右陪集相等當且僅當<math>H</math>为[[正规子群]]。有時會用這個條件作為子群正规性的定义。<ref>{{cite book |last1= Dummit|first1= David S.|last2= Foote|first2= Richard M.|date= 2004|title= Abstract Algebra|publisher=John Wiley and Sons |isbn= 0-471-43334-9}}</ref>

'''陪集'''指某个<math>G</math>中子群的左或右陪集。因为<math>Hg = g(g^{-1}Hg)</math>，<math>H</math>的右陪集<math>Hg</math>和[[共轭类|共轭]]子群<math>g^{-1}Hg</math>的左陪集<math>g(g^{-1}Hg)</math>相等。因此不明確說明所使用的子群而讨论一个陪集是左陪集或右陪集是没有意义的。

对于[[交换群]]或者將群操作記為加號的群，左右陪集可以分别用<math>g + H</math>和<math>H + g</math>表示。

== 范例 ==
令<math>H = \{0, 2\}</math>（[[群同構|同构]]于<math>\mathbb{Z}_2</math>)為加法[[循环群]] <math>\mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\} = G</math>的一個子群。<math>H</math>在<math>G</math>中的左陪集为
:<math>0 + H = \{0, 2\} = H</math>
:<math>1 + H = \{1, 3\}</math>
:<math>2 + H = \{2, 0\} = H</math>
:<math>3 + H = \{3, 1\}</math>
因此<math>H</math>有两個不同的陪集：<math>H</math>自身和<math>1 + H = 3 + H</math>。注意到<math>G</math>的每個元素要麼在<math>H</math>中，要麼在<math>1 + H</math>中，換言之，<math>H \cup (1 + H) = G</math>，所以<math>H</math>在<math>G</math>中的兩個不同的左陪集构成<math>G</math>的一个划分。因为<math>\mathbb{Z}_4</math>是交换群，右陪集和左陪集相同。

另一个陪集的例子来自[[线性空间]]。线性空间的[[向量]]在[[向量|向量加法]]下组成一个[[阿贝尔群]]。可以证明原来的线性空间的[[子空间]]是这个群的[[子群]]。对于给定的线性空间 ''V''，子空间 ''W'' 和 ''V'' 中的一个固定向量 ''a''，集合
:<math>\{x \in V \colon x = a + n, n \in W\}</math>
被称为“[[仿射子空间]]”。它们都是<math>W</math>的陪集。对于[[欧几里得空间]]，仿射子空间代表与给定的过原点的[[直线]]或[[平面 (数学)|平面]][[平行]]的直线或平面。

== 性质 ==

<math> gH = H</math>[[当且仅当]]<math>g</math>是<math>H</math>中的元素。

一个子群 ''H'' 的两个左（右）陪集要么相同，要么不交。因此左（右）陪集的集合构成了群 ''G'' 的一个[[集合劃分|划分]]：群中的每个元素属于且仅属于一个左（右）陪集。特别地，单位元只在一个陪集中，即是 ''H'' 自己。因此 ''H'' 也是所有左（右）陪集中唯一的子群。这个划分称为 ''G'' 对 ''H'' 的'''左'''（'''右'''）'''陪集分解'''。 

在群<math>G</math>中定義[[等价关系]]<math>\sim_H</math>使得<math>x \sim_H y</math>（''x'' 與 ''y'' 等價）当且仅当<math>x^{-1}y \in H</math>，那么 ''H'' 在 ''G'' 中的左陪集正是所有不同的等价类。类似的结论对右陪集也成立（當等價關係的定義為<math>x \sim_H y \iff xy^{-1} \in H</math>時）。
 
一个陪集的'''代表元'''是建立在上述[[等价关系]]上的概念。陪集中的每个元素都可以作为该陪集的代表元。

<math>H</math>的所有左（右）陪集的[[阶 (群论)|阶]]都是一样的。<math>H</math>在<math>G</math>中的左陪集个数和右陪集个数也是一样的，称为<math>H</math>在<math>G</math>中的'''指数'''。记作 <math>[G : H]</math>。由陪集的性质很容易得到[[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]。該定理说明在<math>G</math>为有限群时：
:<math>|G| = [G : H] \cdot |H|</math>

=== 陪集与正规子群 ===
如果子群<math>H</math>不是<math>G</math>的[[正规子群]]，那么它的左陪集和右陪集不相等：<math>G</math>中存在元素<math>a</math>使得不存在符合<math>aH = Hb</math>的元素 <math>b</math>。換言之，<math>H</math>的左陪集构成的划分（<math>G</math>对<math>H</math>的左陪集分解）不同于<math>H</math>的右陪集构成的划分（<math>G</math>对<math>H</math>的右陪集分解）。

另一方面，子群<math>H</math>为正规子群当且仅当对<math>G</math>中所有元素<math>g</math>都有<math>gH = Hg</math>。此時子群<math>H</math>所有的陪集构成一个群，称为<math>G</math>对<math>H</math>的[[商群]]，记作<math>G / H</math>。其元素间的运算 <math>*</math> 定义为<math>(aH)*(bH) = abH</math>。这个定义[[定義良好|自洽]]当且仅当<math>H</math>为正规子群。

== 有限指数 ==
无限群''G''可能有具有有限指数的子群''H''（例如，整数群中的偶数）。可以证明，这样的子群总是包含一个具有有限指数的（''G''的）[[正规子群]]''N''。事实上，如果''H''具有指数''n''，则''N''的指数是''n''!的因子。这一性质可以通过具体的例子来体现：考虑''G''通过乘法在''H''的左陪集上的置换[[群作用|作用]]（或者，在右陪集上的作用也是同样的例子）
: <math>\pi \ : G \times S_H \to S_H</math>
: <math>. \ \ \ ( \ g \ , \ aH) \longmapsto gaH</math> 
其中 <math>S_H</math> 是所有陪集的集合。对 ''G'' 中任意的 ''g''， <math>\pi_g \ : aH \mapsto gaH</math> 都是一个置换。再考虑相应的置换[[群表示|表示]]：<math>\Pi \ : g \mapsto \pi_g</math> ，这个置换表示的核给出了''G''的一个正规子群''N''，而它的象是''G''的一个商群：一个在''n''个元素上的[[对称群 (n次对称群)|对称群]]的子群。

''n'' = 2时，上述性质表明指数为2的子群总是一个正规子群，因为 2!=2。

== 参看 ==
* [[双陪集]]
* [[堆 (数学)|堆]]
* [[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]
* [[正规子群]]
* [[商群]]

== 参考来源 ==
* 胡冠章，《应用近世代数》，第2章，清华大学出版社。 
{{reflist}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群论]]

[[de:Gruppentheorie#Nebenklassen]]
[[ru:Глоссарий теории групп#К]]