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{{TA|G1=Math}}
[[File:TI86 Calculator DivByZero.jpg|缩略图|除以0時計算器的錯誤]]
在[[數學]]中，[[被除數]]的[[除數]]（[[分母]]）是[[0|零]]或將某數'''除以零'''，可表達為<math>\frac{a}{0}</math>，<math>a</math>是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有[[數目]]，以零相乘（假設<math>a\neq 0</math>），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個[[未定義_(數學)|沒有定義]]的值。此式是否成立端視其在如何的[[數學]]設定下[[計算]]。一般[[實數]]算術中，此式為[[無意義]]。在[[程序設計]]中，當遇上[[正整數]]除以零程序會中止，正如[[浮點數]]會出現無限大或[[NaN]]值的情況，而在[[Microsoft Excel]]及[[Apache OpenOffice|Openoffice]]或[[Libreoffice]]的[[OpenOffice.org Calc|Calc]]中，除以零會直接顯示<nowiki>#DIV/0!</nowiki>
。

== 基本算術 ==
基本算術中，[[除法]]指將一個[[集合 (数学)|集合]]中的物件分成若-{干}-等份。例如，<math>10</math>個蘋果平分給<math>5</math>人，每人可得<math>\frac{10}{5} = 2</math>個蘋果。同理，<math>10</math>個蘋果只分給<math>1</math>人，則其可獨得<math>\frac{10}{1} = 10</math>個蘋果。

若除以<math>0</math>又如何？若有<math>10</math>顆蘋果，無人（<math>0</math>解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，<math>\frac{10}{0}</math>，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的[[減法]]。例如「<math>13</math>除以<math>5</math>」，換一種說法，<math>13</math>減去兩個<math>5</math>，餘下<math>3</math>，即被除數一直減去除數直至[[餘數]]數值低於除數，算式為<math>\frac{13}{5} = 2</math>餘數<math>3</math>。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與[[無窮]]拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為[[無窮大]][[乘]]以零仍是零。

=== 早期嘗試 ===
[[婆羅摩笈多]]（598–668年）的著作《{{tsl|en|Brahmasphutasiddhanta|婆羅摩曆算書}}》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，
{{cquote|'''一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。'''}}

830年，另一位數學家{{le|摩訶吠羅 (數學家)|Mahāvīra (mathematician)|摩訶吠羅}}在其著作《{{tsl|en|Gaṇita-sāra-saṅgraha|计算精华}}》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：
{{cquote|'''一數字除以零會維持不變。'''}}

[[婆什迦羅第二]]嘗試解決此問題，答案是讓<math>\frac{n}{0}=\infty</math>。雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：<math>0\times\infty</math>的结果可以是任意一个数，所以所有的数都是相同的。<ref>[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Zero.html Zero] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081204042054/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/HistTopics/Zero.html |date=2008-12-04 }}</ref>

在[[微積分]]和[[数学分析]]中，像<math>0\times\infty</math>或<math>\frac{0}{0}</math>這一類[[极限 (数学)|極限]]稱為[[不定式 (數學)|不定型]]。不定型是可以計算的，結果可能是任意数。

[[File:Division by zero on android 2.2.1 calculator.png|缩略图|200px|[[安卓]]手機計算器除以0顯示無限大]]

== 代數處理 ==
若某數學系統遵從[[域 (數學)|域]]的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是[[乘法]]的逆向操作，即<math>\frac{a}{b}</math>值是方程<math>bx = a</math>中<math>x</math>的解（若有的話）。若設<math>b = 0</math>，方程式<math>bx = a</math>可寫成<math>0 \times x = a</math>或直接<math>0 x= a</math>。因此，方程式<math>bx = a</math>沒有解（当<math>a \neq 0</math>时），但<math>x</math>是任何數值也可解此方程（当<math>a = 0</math>时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以<math>\frac{a}{b}</math>未能下定義。

=== 除以零的謬誤 ===
在代數運算中不當使用除以零可得出[[無效證明]]：<math>2 = 1</math>

式：
:<math>0a = 0</math>
試：
:<math>a = 1</math>：正確
:<math>a = 2</math>：正確
得出：
:<math>0\times 1 = 0\times 2</math>
除以零得出
:<math> \frac{0}{0}\times 1 = 2</math>
簡化，得出：
:<math>1 = 2\,</math>
以上[[謬論]]假設，某數除以0是容許的，並且<math>\frac{0}{0}=1</math>。

另一个简洁的证明
{| class="wikitable"
|設<math>a=b</math>，則<math display="block">a^2=ab</math>兩邊同時减去<math>b^2</math>，由[[平方差公式|平-{方}-差公式]]得<math display="block"> (a+b)(a-b)=b(a-b)</math>兩邊除以<math>(a-b)</math>，<math display="block">a+b=b</math>故<math>a=0</math>。
|}
通过上面的過程，证明了一切数字等于<math>0</math>。此謬論是由於簡化的过程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為<math>(a-b)</math>是零，所以不能夠把左右兩邊的<math>(a-b)</math>刪去。

=== 虛假的除法 ===
在[[矩陣]]代數或[[線性代數]]中，可定義一種虛假的除法，設<math>\frac{a}{b}=a b^+</math>，當中<math>b^+</math>代表<math>b</math>的虛構倒數。這樣，若<math>b^-</math>存在，則<math>b^+ = b^-</math>。若<math>b=0</math>，則<math>0^+ = 0</math>；參見[[广义逆]]。

== 數學分析 ==
[[File:Hyperbola one over x.svg|thumb|300px|函數<math> f(x) = \frac{1}{x}</math>的圖像。當x趨向0，左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。]]

=== 扩展的实数轴 ===
表面看來，可以藉着考慮隨着<math>b</math>趨向<math>0</math>的<math>\frac{a}{b}</math>來定義「除以零」。

對於任何正數<math>a</math>，右極限是
:<math>\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty</math>
另一方面，左極限是
:<math>\lim_{b \to 0^{-}} {a \over b} = {-}\infty</math>
由於左極限及右極限不相同，因此函數在<math>x=0</math>的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若<math>a</math>是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用[[洛必達法則]]計算。

===不定型極限===
[[不定式 (數學)|不定型]]（Indeterminate Form）的極限可透過[[四则运算]]或[[洛必達法則]]計算。

考慮函數<math> f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}</math>

如果直接代入<math>x=3</math>，會得到零除以零，這是沒有意義的。
:<math> f(3) = \frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}</math>

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。
:<math> \lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3} x+3=6</math>

此外，函數的極限可透過[[洛必達法則]]計算。
:<math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>

若隨着<math>x</math>趨向<math>0</math>，<math>f(x)</math>與<math>g(x)</math>均趨向<math>0</math>，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎<math>f</math>及<math>g</math>是何函數。

=== 形式推算 ===
運用{{tsl|en|formal calculation|形式推算}}，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

:<math>\lim\limits_{x \to 0} {\frac{1}{x} =\frac{\lim\limits_{x \to 0} {1}}{\lim\limits_{x \to 0} {x}}} = \infty.</math>

=== 黎曼球 ===
集合<math>\mathbb{C}\cup\{\infty\}</math>為[[黎曼球]]（{{lang|en|Riemann sphere}}），在[[複分析]]中相當重要。

== 计算机科学 ==
{| class="wikitable sortable"  style="float:right; margin-left:1em; margin-right:0; width:50%;"
|+ 不同[[程式語言]]下除以零的结果
|-
! [[程式語言]]
! [[整数 (计算机科学)|整数]]
! [[浮点数]]
|-
| [[C语言]]
| 未定义行为，早期计算机可能[[崩潰]]；如果0是常量，可能导致编译警告。
| [[无穷#電腦計算中的無窮|无穷大]]或[[NaN]]
|-
| [[Java]]
| 抛出ArithmeticException异常
| 无穷大或NaN
|-
| [[JavaScript]]
| {{n/a|不适用，JavaScript无整数类型}}
| 无穷大或NaN
|-
| [[Python]]
| 抛出ZeroDivisionError异常
| 抛出ZeroDivisionError异常；但是部分Python包提供的运算函数除外
|}
在计算机中，除以零的结果根据编程语言、软硬件环境、数据类型、数值而不同。部分语言中，无论是整数还是浮点数，除以0均会产生异常，而在另一部分语言中，整数除以零会产生异常或[[未定义行为]]，而浮点数除以零的结果如下：

*零与NaN除以零：[[NaN]]（注：NaN不等于NaN）
*零与NaN以外的数除以符号相同的0（如1除以0）：正[[无穷#電腦計算中的無窮|无穷大]]
*零与NaN以外的数除以符号不同的0（如1除以[[-0]]、-1除以0）：负无穷大

== 注釋 ==
{{reflist}}

== 參考 ==
* {{tsl|en|Patrick Suppes|}} 1957 (1999 Dover edition), ''Introduction to Logic'', Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

* Charles Seife 2000, ''Zero: The Biography of a Dangerous Idea'', Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.). 

* [[Alfred Tarski]] 1941 (1995 Dover edition), ''Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

== 延伸閱讀 ==
* Jakub Czajko (July 2004) "{{doi-inline|10.1016/j.chaos.2003.12.046|On Cantorian spacetime over number systems with division by zero}}", ''Chaos, Solitons and Fractals'', volume 21, number 2, pages 261–271.
{{wikinews|British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians|British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians|en}}
*{{cite web|url=http://www.badscience.net/?p=335|title=Maths Professor Divides By Zero, Says BBC|date=2006-12-07|author=Ben Goldacre|accessdate=2008-04-23|archive-date=2008-05-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20080527225845/http://www.badscience.net/?p=335|dead-url=no}}

== 參見 ==
* [[漸近線]]
* [[未定式|0/0]]
* [[引力奇點]]

[[Category:零]]
[[Category:分數]]
[[Category:數學分析]]
[[Category:除法]]

[[de:Null#Division]]