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{{各種函數}}
在[[数学]]中，[[映射]]的'''限制''' <math>f</math> 是一个新的映射，记作 <math>f\vert_A</math> 或者 <math>f {\restriction_A}</math> ，它是通过为原来的映射 <math>f</math> 选择一个更小的[[定义域]] <math>A</math> 来得到的。反过来，也称映射 <math>f</math> 是映射 <math>f\vert_A</math> 的'''扩张'''。

== 正式定义 ==
设 <math>f : E \to F</math> 是一个[[集合 (数学)|集合]] <math>E</math> 到集合 <math>F</math> 的映射。如果 <math>A</math> 是 <math>E</math> 的[[子集]]，那么称满足<math display="block">\forall x\in A,\quad{f|}_A(x) = f(x)</math>的映射<ref name="Stoll">
{{Cite book|last=Stoll|first=Robert|title=Sets, Logic and Axiomatic Theories|publisher=W. H. Freeman and Company|date=1974|location=San Francisco|pages=[36]|edition=2nd|isbn=0-7167-0457-9|url=https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5}}</ref> <math display="block">{f|}_A : A \to F</math> 是映射 <math>f</math> 在 <math>A</math> 上的'''限制'''。不正式地说， <math>{f|}_A</math> 是和 <math>f</math> 相同的映射，但只定义在 <math>A</math> 上。

如果将映射 <math>f</math> 看作一种在[[笛卡儿积|笛卡尔积]] <math>E \times F</math> 上的[[关系 (数学)|关系]] <math>(x,f(x))</math> ，然后 <math>f</math> 在 <math>A</math> 上的限制可以用它的[[函数图形|图像]]来表示：

: <math>G({f|}_A) = \{ (x,f(x))\in G(f) : x\in A \} = G(f)\cap (A\times F),</math>

其中 <math>(x,f(x))</math> 表示图像 <math>G</math> 中的[[有序对]]。

== 扩张 ==
映射 <math>F</math> 称为另一映射的 <math>f</math> 的'''扩张'''，当且仅当 <math>F\big\vert_{\operatorname{Dom}(f)} = f</math> 。也就是说同时满足下面两个条件：

# 属于 <math>f</math> 之定义域的 <math>x</math> 必然也在 <math>F</math> 的定义域中，即 <math>\operatorname{Dom}(f) \subseteq \operatorname{Dom} (F)</math> ；
# <math>f</math> 和 <math>F</math> 在它们共同的定义域上的行为相同，即<math>\forall x\in\operatorname{Dom}(f),\quad f(x) = F(x)</math> 。

===具有特定性质的扩张===

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射 <math>f</math> 的扩张映射 <math>F</math> ，且 <math>F</math> 仍是线性的，这时说 <math>F</math> 是 <math>f</math> 的一个'''{{Visible anchor|线性扩张}}'''，或者说；寻找一个[[連續函數 (拓撲學)|连续]]映射 <math>f</math> 的扩张映射 <math>F</math> ，且 <math>F</math> 仍连续，则称为进行了'''{{Visible anchor|连续扩张}}'''；诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射 <math>F</math> 的详细定义，如[[稠密子集]]到[[豪斯多夫空间]]的映射的[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuous_extension 连续扩张]。

== 例子 ==

# [[单射|非单射]]函数 <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: \ x \mapsto x^2</math> 在域<math>\mathbb{R}_{+} = [0,\infty)</math> 上的限制是<math>f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2</math> ，而这是一个单射。
# 将[[Γ函数]]限制在正整数集上，并将变量平移 <math>1</math> ，就得到[[階乘|阶乘]]函数： <math>{\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)!</math> 。

== 限制的性质 ==

* 映射 <math>f:X\rightarrow Y</math> 在其整个定义域 <math>X</math> 上的限制即是原函数，即 <math>f|_X = f</math> 。
* 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 <math>A \subseteq B \subseteq \operatorname{Dom}(f)</math> ，则 <math>\left(f|_B\right)|_A = f|_A</math> 。
* 集合 <math>X</math> 上的[[恆等函數|恒等映射]]在集合 <math>A</math> 上的限制即是 <math>A</math> 到 <math>X</math> 的[[包含映射]]。<ref>{{Cite book|authorlink=Paul Halmos|last=Halmos|first=Paul|title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]|location=Princeton, NJ|publisher=D. Van Nostrand|year=1960}} Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{ISBN|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{ISBN|978-1-61427-131-4}} (Paperback edition).</ref>
* [[连续函数]]的限制是连续的。<ref>{{Cite book|last=Munkres|first=James R.|title=Topology|edition=2nd|location=Upper Saddle River|publisher=Prentice Hall|year=2000|isbn=0-13-181629-2}}</ref> <ref>{{Cite book|last=Adams|first=Colin Conrad|first2=Robert David|last2=Franzosa|title=Introduction to Topology: Pure and Applied|url=https://archive.org/details/introductiontoto0000coli|publisher=Pearson Prentice Hall|year=2008|isbn=978-0-13-184869-6}}</ref>

== 應用 ==

=== 反函數 ===
{{details|反函數}}

[[File:Inverse_square_graph.svg|thumb|定义域为 <math>\mathbb{R}</math> 的函数 <math>x^2</math> 没有[[反函數|反函数]]。若考虑 <math>x^2</math> 到非[[实数|负实数]]的限制，则它有一个反函数，称为[[平方根]] <math>x</math> 。]]

若某函數存在反函數，其映射必為[[单射|單射]]。若映射 <math>f</math> 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如：

　　<math>f(x)=x^2</math>

因為 <math>x^2=(-x)^2</math>，故非單射。但若將定義域限制到 <math>x\geq{0}</math> 時該映射為單射，此時有反函數

　　<math>f^{-1}(y)=\sqrt{y}</math>

（若限制定義域至 <math>x\leq{0}</math>，輸出 <math>y</math> 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為[[多值函数]]，則無需限制原函數的定義域。

=== 粘接引理 ===
{{details|{{le|粘接引理|Pasting lemma}}}}

[[点集拓扑学|點集拓撲學]]中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

:設拓撲空間 <math>A</math> 的子集 <math>X,\ Y</math> 同時為開或閉，且滿足 <math>A=X\cup{Y}</math>，設 <math>B</math> 為拓撲空間。若映射 <math>f:A\to{B}</math> 到 <math>X</math> 及 <math>Y</math> 的限制都連續，則 <math>f</math> 也是連續的。

基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。

===層===
{{main|層 (數學)}}
[[層 (數學)|層]]將函數的限制推廣到其他物件的限制。

[[層論]]中，[[拓撲空間]]<math>X</math>的每個[[開集]]<math>U</math>，有另一個[[範疇 (數學)|範疇]]中的物件<math>F(U)</math>與之對應，其中要求<math>F</math>滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有'''限制[[態射]]'''，即若<math>V \subseteq U</math>，則有態射<math>\mathrm{res}_{V, U}: F(U) \to F(V)</math>，且該些態射應仿照[[#正式定义|函數的限制]]，滿足下列條件：

# 對<math>X</math>的每個開集<math>U</math>，限制態射<math>\mathrm{res}_{U, U}: F(U) \to F(U)</math>為<math>F(U)</math>上的恆等態射。
# 若有三個開集<math>W \subseteq V \subseteq U</math>，則[[複合函數|複合]]<math>\mathrm{res}_{W, V}\circ\mathrm{res}_{V, U} = \mathrm{res}_{W, U}</math>。
# （局部性）若<math>(U_i)</math>為某個開集<math>U</math>的[[覆盖_(拓扑学)|開覆蓋]]，且<math>s, t \in F(U)</math>滿足：對所有<math>i</math>，<math>s\restriction_{U_i} = t \restriction_{U_i}</math>，則<math>s = t</math>。
# （黏合) 若<math>(U_i)</math>為某個開集<math>U</math>的開覆蓋，且對每個<math>i</math>，給定截面<math>s_i \in F(U_i)</math>，使得對任意兩個<math>i, j</math>，都有<math>s_i, s_j</math>在定義域重疊部分重合（即<math>s_i \restriction_{U_i \cap U_j} = s_j \restriction_{U_i \cap U_j}</math>），則存在截面<math>s \in F(U)</math>使得對所有<math>i</math>，<math>s \restriction_{U_i} = s_i</math>。

所謂拓撲空間<math>X</math>上的'''層'''，就是該些物件<math>F(U)</math>和態射<math>\mathrm{res}_{V, U}</math>組成的整體<math>(F, \mathrm{res})</math>。若僅滿足前兩項條件，則稱為'''預層'''。

== 引注 ==
{{Reflist}}

[[Category:层论]]