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[[Image:Hadamard product qtl1.svg|thumb|作用在两个相同形状的矩阵上的阿达玛乘积，结果是第三个相同形状的矩阵。 ]]
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在[[数学]]中，'''阿达玛乘积''' （{{Lang-en|Hadamard product}}，又译'''哈达玛乘积'''），又名'''舒尔乘积'''（{{Lang|en|Schur product}}）<ref>{{cite journal |last=Davis |first=Chandler |title=The norm of the Schur product operation |journal=Numerische Mathematik |volume=4 |number=1 |year=1962 |pages=343–44 |doi=10.1007/bf01386329}}</ref>或'''逐项乘积'''（{{Lang|en|entrywise product}}）<ref name="HornJohnson">{{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|first2=Charles R.|last2=Johnson|title=Matrix analysis|publisher=Cambridge University Press|date=2012}}</ref>{{rp|ch. 5}}，是一个[[二元运算]]，其输入为两个相同形状的[[矩阵]]，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。此乘积归功于法国数学家[[雅克·阿達馬]]或德国数学家{{le|伊賽·舒爾|Issai Schur}}，并以其命名。

==定义==

若两个矩阵<math>A</math>和<math>B</math>具有相同的维度<math>m \times n</math>，则它们的阿达玛乘积<math> A \circ B </math>是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为：
:<math>(A \circ B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.</math>

对于维度不相等的矩阵({{math|''m'' × ''n''}}矩阵和 {{math|''p'' × ''q''}}矩阵，其中{{math|''m'' ≠ ''p''}} 或{{math|''n'' ≠ ''q''}})，阿达玛乘积没有定义。

==样例==

<math>3 \times 3</math>矩阵{{math|'''A'''}}与<math>3 \times 3</math>矩阵{{math|'''B'''}}的阿达玛乘积为：
:<math> 
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}
    b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
    b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
    b_{31} & b_{32} & b_{33}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    a_{11}\, b_{11} & a_{12}\, b_{12} & a_{13}\, b_{13}\\
    a_{21}\, b_{21} & a_{22}\, b_{22} & a_{23}\, b_{23}\\
    a_{31}\, b_{31} & a_{32}\, b_{32} & a_{33}\, b_{33}
  \end{bmatrix}.
</math>

==性质==
<ul>
<li> 阿达玛乘积满足[[交换律]]（当其元素属于交换环时）, [[结合律]]和对加法的[[分配律]]：
:<math>\begin{align}
  &\mathbf{A} \circ \mathbf{B} = \mathbf{B} \circ \mathbf{A}, \\
  &\mathbf{A} \circ (\mathbf{B} \circ \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \circ \mathbf{B}) \circ \mathbf{C}, \\
  &\mathbf{A} \circ (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \circ \mathbf{B} + \mathbf{A} \circ \mathbf{C}.
\end{align}</math>
</li>
<li>
在阿达玛乘积意义下，{{math|''m'' × ''n''}}矩阵的[[單位元]]是[[全一矩阵|全部元素均为1的{{math|''m'' × ''n''}}矩阵]]。这跟普通矩阵乘法的[[單位元]]只有主对角线上的元素为1的[[单位矩阵]]不同。此外，当且仅当没有任何元素等于 0 时，矩阵的阿达玛乘积有逆矩阵。<ref name="hadamardpdf1">{{cite web|last=Million|first=Elizabeth|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|access-date=2 January 2012|archive-date=2013-06-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20130612163514/http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf}}</ref>
</li>
<li>
对于向量{{math|'''x'''}}和{{math|'''y'''}}，以及以这些向量作为主对角线的对应对角矩阵{{math|''D''<sub>'''x'''</sub>}}和{{math|''D''<sub>'''y'''</sub>}}，以下恒等式成立：<ref name="HornJohnson">{{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|first2=Charles R.|last2=Johnson|title=Matrix analysis|publisher=Cambridge University Press|date=2012}}</ref>{{rp|479}}
:<math>\mathbf{x}^*({A} \circ {B})\mathbf{y} = \operatorname{tr}\left({D}_\mathbf{x}^* {A} {D}_\mathbf{y} {B}^\mathsf{T}\right),</math>

其中{{math|'''x'''<sup>*</sup>}}指的是{{math|'''x'''}}的[[共轭转置]]。特别的，使用全1向量，可以发现阿达玛乘积的所有元素求和是{{math|''AB''<sup>T</sup>}}（上标T表示[[矩阵转置]]）的[[迹]]。对于方阵 {{mvar|A}}和 {{mvar|B}}，一个相似的结论是他们的阿达玛乘积按行求和后得到的向量是{{math|''AB''<sup>T</sup>}}的对角元素组成的向量：<ref name=styan1973>{{Citation | doi=10.1016/0024-3795(73)90023-2 | last=Styan | first=George P. H. | title=Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis | journal=Linear Algebra and Its Applications | year=1973 | volume=6 | pages=217–240| hdl=10338.dmlcz/102190 | hdl-access=free }}</ref>
:<math>\sum_i (A \circ B)_{ij} = \left(B^\mathsf{T}A\right)_{jj} = \left(AB^\mathsf{T}\right)_{ii}.</math>

相似地，
:<math>\left(\mathbf{y}\mathbf{x}^*\right) \circ {A} = {D}_\mathbf{y} {A} {D}_\mathbf{x}^*</math>
此外，阿达玛乘积矩阵与向量的积可以表示为：
:<math>(A \circ B) \mathbf{y} = \operatorname{diag}\left( A D_\mathbf{y} B^\mathsf{T} \right)</math>
其中<math>\operatorname{diag}(M)</math> 是{{mvar|M}}的对角元素组成的向量。
</li>
<li>
阿达玛乘积是[[克罗内克积|克罗内克乘积]]的主要[[子矩阵]]。
</li>
<li>
阿达玛乘积满足秩不等式
:<math>\operatorname{rank}({A} \circ {B}) \leq \operatorname{rank}({A}) \operatorname{rank}({B}) </math>
</li>
<li>
如果{{math|''A''}}和{{math|''B''}}是[[正定矩阵]]，那么下列不等式成立：<ref>{{cite journal|last1=Hiai|first1=Fumio|last2=Lin|first2=Minghua|title=On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=February 2017|volume=515|pages=313–320|doi=10.1016/j.laa.2016.11.017|doi-access=free}}</ref>
:<math>\prod_{i=k}^n \lambda_i({A} \circ {B}) \ge \prod_{i=k}^n \lambda_i({A} {B}),\quad k=1,\ldots,n,</math>
其中{{math|''λ<sub>i</sub>''(''A'')}}是{{math|''A''}}的第{{math|''i''}}大的[[特征值]]。
</li>
<li>
如果{{mvar|D}}与{{mvar|E}}是[[对角矩阵]]，那么<ref>{{cite web |url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf |title=Project |publisher=buzzard.ups.edu |date=2007 |access-date=2019-12-18 |archive-date=2013-06-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130612163514/http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf }}</ref>
:<math>\begin{align}
  {D}({A} \circ {B}) {E} &= ({D}{A}{E}) \circ {B}    = ({D}{A}) \circ ({B}{E}) \\
  &=  ({A}{E}) \circ ({D}{B}) =    {A} \circ ({D}{B}{E}).
\end{align}</math>
</li>
<li>
两个向量<math>\mathbf a</math> 和 <math>\mathbf b</math>的阿达玛乘积与一个向量和另一个向量对应的[[对角矩阵]]做矩阵乘法得到的结果相同：
:<math>\mathbf a \circ \mathbf b = D _{\mathbf a} \mathbf b = D _{\mathbf b} \mathbf a</math>
</li>
<li>
将向量映射到对角矩阵的[[对角矩阵|<math>\operatorname{diag}</math> 运算]]可以用阿达玛乘积写为：

:<math>\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = (\mathbf{a} \mathbf{1}^T) \circ I</math>

其中<math>\mathbf{1}</math>是[[全一向量|全<math>1</math>向量]]， <math>I</math>是[[单位矩阵]]。
</li>
</ul>

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:矩陣]]