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{{NoteTA|G1=Math}}
{{群论}}
'''阿貝爾群'''（Abelian group）也稱爲'''交換群'''（commutative group）或'''可交換群'''，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（[[交換律]]公理）的[[群]]。阿貝爾群推廣了[[整數]]集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家[[尼尔斯·阿貝爾]]命名。

阿貝爾群的概念是[[抽象代數]]的基本概念之一。其基本研究對象是[[模]]和[[向量空間]]。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被较为徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。

== 定義 ==
[[群]] <math>(A, \circ)</math> 對於所有的 <math>a,\,b\in A</math>，都滿足 <math>a \circ b = b \circ a</math> （[[交換律]]）的話，稱 <math>(A, \circ)</math> 為阿貝爾群或'''交換群'''，反之被稱爲「非阿貝爾群」或「非交換群」。

=== 符號 ===

群有兩種主要表示運算的符號—加法和乘法。
:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! 運算
! 表示法
! 單位元
! 冪
! 逆元
|-
! 加法運算
| <math>x + y</math> || 0 || <math>nx</math> || <math>-x</math>
|-
! 乘法運算
| <math>x \cdot y</math> 或 <math>xy</math> || 1
| <math>x^n</math>
| <math>x^{-1}</math>
|}

乘法符號是[[群]]的常用符號，而加法符號是[[模]]的常用符號。當同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群時，加法符號還可以用來強調阿貝爾群是特定群。

=== 乘法表 ===

驗證[[有限群]]是阿貝爾群，可以構造類似[[乘法表]]的一種表格（或說矩陣），稱爲[[凱萊表]]。如果群 <math>G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}</math> 在運算 <math>\cdot</math> 下，則這個表的 <math>(i, j)</math> 元素即是 <math>g_i \cdot g_j</math>。群是阿貝爾群[[若且唯若]]這個表是關於主對角線是對稱的（或說這個矩陣是[[對稱矩陣]]）。這是因為對於阿貝爾群，<math>g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i</math>，即表格中的 <math>(i, j)</math> 元素等於 <math>(j, i)</math> 元素。如下表所示：
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!
! <math>e</math>
! <math>\cdots</math>
! <math>g_j</math>
!<math>\cdots</math>
|-
! <math>e</math>
| <math>e</math> || ||
|
|-
!<math>\vdots</math>
|
|
|
|
|-
!<math>g_i</math>
|
|
|<math>g_i \cdot g_j</math>
|
|-
!<math>\vdots</math>
|
|
|
|
|}
== 例子 ==

* [[整數]]集與[[加法]]運算構成阿貝爾群，記為<math>(\mathbb{Z}, +)</math>。兩個整數相加仍是整數，且加法有結合律。<math>0</math> 是[[加法單位元]]，所有整數 <math>n</math> 都有[[加法逆元]] <math>-n</math>。加法運算有交換律，因為對於任意兩個整數<math>m,n</math> 都有 <math>m + n = n + m</math>。
* 所有[[循環群]] <math>G=\langle g \rangle</math> 都是阿貝爾群。如果 <math>x,y\in G</math> ，則 <math>xy = g^m g^n = g^{m+n} = g^ng^m = yx</math>。因此[[整數]]集 <math>\mathbb{Z}</math> 形成了在加法下的阿貝爾群，[[模算術|整數模<math>n</math>]] <math>\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}</math>也是。
* 所有[[环 (代数)|環]]都是關于它的加法運算的阿貝爾群。在[[代數 (環論)|交換環]]中的[[可逆元]]形成了阿貝爾[[乘法群]]。特別是[[實數]]集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。
* 所有阿貝爾群的[[子群]]都是[[正規子群]]，所以每個子群都引發[[商群]]。阿貝爾群的子群、商群和[[群的直和|直和]]也是阿貝爾群。

[[矩陣]]即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群 - 一個例子是<math>2 \times 2</math> [[旋轉矩陣]]的群。

== 歷史注記 ==

阿貝爾群是[[Camille Jordan]]以[[挪威]][[數學家]][[尼尔斯·阿贝尔]]命名的，他首先察覺到了阿貝爾首先發表的這種群與[[伽羅瓦理論|根式可解性]]的聯繫的重要性。

== 性質 ==

如果 <math>n</math> 是[[自然數]]而 <math>x</math> 是阿貝爾群 <math>(G,+)</math> 的一個元素，則 <math>nx</math> 可以定義為 <math>x + x + \cdots + x</math>（<math>n</math>個數相加）并且 <math>(-n)x = -(nx)</math>。以這種方式，<math>G</math> 變成在整數的[[环 (代数)|環]] <math>\mathbb{Z}</math> 上的[[模]]。事實上，在 <math>\mathbb{Z}</math> 上的模都可以被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（比如在[[主理想環|主理想]][[整環]] <math>\mathbb{Z}</math> 上的[[模]]）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是[[有限生成阿貝爾群]]的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾群的情況下，這個定理保證阿貝爾群可以分解為撓群和自由阿貝爾群的直和。前者可以被寫為形如 <math>\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}</math> 對于素數 <math>p</math> 的有限多個群的直和，而后者是有限多個 <math>\mathbb{Z}</math> 的復本的直和。

如果 <math>f, g: G \to H</math> 是在阿貝爾群之間的兩個[[群同態]]，則它們的和 <math>f + g</math>，定義為 <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math>，也是阿貝爾同態。（如果 <math>H</math> 是非阿貝爾群則這就不成立。）所有從 <math>G</math> 到 <math>H</math> 的群同態的集合 <math>\text{Hom}(G,H)</math> 因此是自身方式下的阿貝爾群。

某種程度上類似於[[向量空間]]的[[維度]]，所有阿貝爾群都有[[阿貝爾群的秩|秩]]。它定義為群的[[線性相關性|線性無關]]元素的最大集合的[[基数 (数学)|勢]]。整數集和[[有理數]]集和所有的有理數集的子群都有秩1。

阿貝爾群的所有子群都是正規子群，但反之不成立——[[四元群]] <math>Q_8</math> 就是一個例子——它不是一個交換群，但它的所有子群都是正規子群。所有子群都是正規子群的群叫做[[戴德金群]]。

== 有限阿貝爾群 ==

整數模以 <math>n</math> 的循環群 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> 是最常見的群的例子。已證實了任意有限阿貝爾群都同構於素數階的有限循環群的直和，并且這些階數是唯一確定的，形成了一個不變量（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的[[自同構群]]可以依據這些不變量來直接描述。有關理論最初發展自[[费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯]]和{{link-en|Ludwig Stickelberger|Ludwig Stickelberger}}在1879年的論文，后來被簡化和推廣到在主理想整環上的有限生成模，形成了[[線性代數]]的一個重要組成部分。

=== 分類 ===

'''有限阿貝爾群的基本定理'''聲稱所有有限阿貝爾群 <math>G</math> 都可以表達為[[質數冪]]階的循環子群的直和。這是[[有限生成阿貝爾群的基本定理]]在 <math>G</math> 有零[[阿貝爾群的秩|秩]]時的特殊情況。

<math>mn</math>階的循環群<math>\mathbb{Z}_{mn}</math>同構於<math>\mathbb{Z}_m</math>與<math>\mathbb{Z}_n</math>的直和，當且僅當<math>m</math>與<math>n</math>是[[互素]]的。可推出任何有限阿貝爾群 <math>G</math> 同構於如下形式的[[群的直和|直和]]

:<math>\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}</math>

以任何下列規范方式：
* 數 <math>k_1, k_2, \dots, k_u</math> 是素數的冪
* <math>k_1</math> [[因子|整除]] <math>k_2</math>，它又整除 <math>k_3</math>，如此直到 <math>k_u</math>。

例如，<math>\mathbb{Z}_{15}</math>可以被表達為3階和5階的兩個循環群的直和：<math>\mathbb{Z}_{15} \cong  \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}</math>。對于任何15階的阿貝爾群這也成立，導致了所有15階阿貝爾群都是[[群同構|同構]]的顯著結論。

另一個例子，所有8階段阿貝爾群都同構於要么 <math>\mathbb{Z}_8</math>(整數0到7在模8加法下)，<math>\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2</math>（奇數1到15在模16乘法下），要么 <math>\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2</math>。

小於等于16階的有限阿貝爾群可參見[[小群列表]]。

=== 自同構 ===

可以應用基本定理去計數（有時確定）給定有限阿貝爾群 <math>G</math> 的[[群同構#自同構|自同構]]。要這么做，可利用如果 <math>G</math> 分解為[[互素]]階的子群的直和 <math>H\oplus K</math>，則 <math>\operatorname{Aut}(H\oplus K) \cong \operatorname{Aut}(H)\oplus \operatorname{Aut}(K)</math> 的事實。

基本定理證明了要計算<math>G</math>的自同構群，分別計算[[西羅定理|西羅]] <math>p</math>-子群的自同構群就足夠了（也就是所有的循環子群的直和，每個都有 <math>p</math> 的冪的階）。固定一個素數 <math>p</math> 并假設西羅 <math>p</math>-子群的循環因子的指數 <math>e_i</math> 是按遞增次序安排的：

:<math>e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n</math>

對於某個 <math>n > 0</math>。需要找到

:<math>\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}</math>

的自同構。一個特殊情況是在 <math>n=1</math> 的時候，此時在西羅 <math>p</math>-子群 <math>P</math> 中只有唯一一個循環素數冪因子。在這個情況下可以使用有限[[循環群]]的自同構的理論。另一個特殊情況是在 <math>n</math> 為任意的但 <math>e_i = 1</math> 對於 <math> 1 \le i  \le n</math> 的時候。這里考慮 <math>P</math> 為有著形式

:<math>\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p</math>

所以這個子群的元素可以被看作構成了在 <math>p</math> 元素的有限域 <math>\mathbb{F}_p</math> 上的 <math>n</math> 維向量空間。這個子群的自同構因此給出為可逆線性變換，因此

:<math>\mathrm{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbb{F}_p)</math>

它早先證明了有階

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1})</math>

在最一般情況下，這里的<math>e_i</math>和<math>n</math>是任意的，自同構群更難於確定。但是已經知道了如果定義

:<math>d_k=\max\{r\mid e_r = e_k^{\,}\}</math>

并且

:<math>c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}</math>

則有著特別的 <math>k \le d_k</math>，<math>c_k \le k</math>，并且

:<math> \left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}. </math>。

可以檢查這會生成作為特殊情況的前面例子的階（參見[Hillar, Rhea]）。

== 參見 ==
*[[類域論]]
*[[交換子群]]
*[[初等阿貝爾群]]
*[[有限生成阿貝爾群]]
*[[自由阿貝爾群]]
*[[龐特里亞金對偶性]]
*[[秩1無撓阿貝爾群]]

== 注釋 ==
<references/>

== 引用 ==
* Fuchs, László（1970）''Infinite abelian groups, Vol. I''. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36.  New York-London: Academic Press. xi+290 pp. {{MathSciNet| id=0255673}}
* ------（1973）''Infinite abelian groups, Vol. II''. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp. {{MathSciNet| id=0349869}}
* {{cite book | first=Phillip A. | last=Griffith | title=Infinite Abelian group theory | url=https://archive.org/details/infiniteabeliang0000grif | series=Chicago Lectures in Mathematics | publisher=University of Chicago Press | year=1970 | isbn=0-226-30870-7 }}
* Hillar, Christopher and Rhea, Darren (2007), Automorphisms of finite abelian groups. Amer. Math. Monthly '''114''', no. 10, 917-923. [http://arxiv.org/abs/math/0605185] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math/0605185 |date=20210506230947 }}.
* Szmielew, Wanda (1955) "Elementary properties of abelian groups," ''Fundamenta Mathematica'' '''41''': 203-71.

{{ModernAlgebra}}

{{Authority control}}

[[Category:阿貝爾群論|*]]
[[Category:群的性質]]
[[Category:尼尔斯·阿贝尔]]