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'''阿貝爾定理'''是[[冪級數]]的一個重要結果。 

==定理==
設<math>f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n</math>為一冪級數，其[[收斂半徑]]為''R''。若对收敛圆（模长为 ''R'' 的复数的集合）上的某个复数<math>z_0</math>，[[级数]]<math>\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n</math>收斂，則有: <math>\lim_{t\to 1^-} f(t z_0) =  \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n</math>。

若<math>\sum_{n \geq 0} a_n R^n</math>[[收斂]]，則結果顯然成立，無須引用這个定理。

==证明==
设级数<math>\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n</math>收斂，下面证明：
:<math>\lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} a_n t^n z_0^n = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n</math>

令<math>b_n = a_n z_0^n</math>，则幂级数<math>\sum_{n\geq 0} b_n z^n</math> 的收敛半径为1，并且只需证明
:<math>\lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n  = \sum_{n \geq 0} b_n</math>

令<math>b_0^{\prime} = b_0 - \sum_{n \geq 0} b_n</math>，则可化归到<math>\sum_{n\geq 0} b_n =0</math>，于是以下只需要考虑<math>\sum_{n\geq 0} b_n =0</math> 的情况。

设<math>S_n = \sum_{k = 0}^n b_n</math>，那么<math>\lim_{n\to +\infty} S_n = 0</math>。由幂级数性质可知<math>\sum_{n\geq 0} S_n z^n</math> 的收敛半径也是1。于是
: <math>.\ \ \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N (S_n - S_{n-1}) t^n</math>
: <math>= \lim_{N\to +\infty} \left(\sum_{n = 0}^{N-1} S_n (t^n - t^{n+1}) + S_N t^N \right) </math>
: <math>= (1 - t) \sum_{n = 0}^{\infty} S_n t^n</math>（因为<math>\lim_{n\to +\infty} S_n t^n= 0</math>）

对于任意的<math>\epsilon >0</math>，固定<math>N_0</math> 使得
: <math>\forall m > N_0</math>，<math>|s_m|< \frac{\epsilon}{2}</math>
再固定<math>\delta</math>使得
: <math>\forall 0 \le t \le \delta</math>，<math>|1 - t| \sum_{n = 0}^{N_0} S_n \le \frac{\epsilon}{2}</math>

于是对<math>\forall 0 \le t \le \delta</math>，
: <math>.\ \ | \lim_{N\to +\infty} \sum_{n = 0}^N b_n t^n | \le |(1 - t) \sum_{n = 0}^{N_0} S_n t^n | + |(1 - t) \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} S_n t^n |</math>
:<math>\le \frac{\epsilon}{2} + |1 - t| \frac{\epsilon}{2} \sum_{n = N_0 + 1}^{\infty} |t|^n \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \frac{|1 - t|}{1 - |t|}</math>
: <math>\displaystyle = \epsilon</math>

这就证明了
:<math>\lim_{t\to 1^-} \sum_{n \geq 0} b_n t^n  = 0 = \sum_{n \geq 0} b_n</math>
于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数<math>\alpha</math>，设区域：
: <math>D_{\alpha} = \left\{ |t| \le 1 \mid \frac{|1 - t|}{1 - |t|} \le \alpha \right\}</math>
那么只要<math>t</math> 在<math>D_{\alpha}</math>趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

==例子和应用==
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上<math>x^n</math>项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 ''x'' 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

# 为计算收敛级数<math> \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} </math>，設<math>f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)</math>。于是有<math>\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2  </math>
# 为计算收敛级数<math>\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>，設<math>g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)</math>。因此有<math>\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>

==参考来源==
*{{fr}}{{cite book|title= Cours d'Analyse|author = Srishti.D.Chatterji|publisher=Editions polytechniques et universitaires romandes|year=1997}}
*{{fr}}{{cite book|title= Theorème D'Abel: Un Cours D'Arnold|author = Alekseev|publisher= Cassini  |year=2007}} 

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