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'''阿贝尔判别法'''（Abel test）是一个用于判断[[无穷级数]]是否[[收敛]]的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。

==实数项级数的阿贝尔判别法==

给定两个[[实数]]项[[数列]]<math>\{a_n\}</math>和<math>\{b_n\}</math>，如果数列满足

* <math> \sum^{\infty}_{n=1}a_n </math>收敛

* <math>\lbrace b_n \rbrace\,</math>是[[单调函数|单调]]且[[有界函數|有界]]的

则级数

:<math>\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math>

收敛。

==复数项级数的阿贝尔判别法==

一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断[[幂级数]]在[[收敛半径|收敛圆]]的边界上的收敛性。如果

:<math>
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,
</math>

而级数

:<math>
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,
</math>

在|''z''| < 1是收敛，而在|''z''| > 1时发散，系数{''a''<sub>''n''</sub>}是正的实数，当''n'' > ''m''时单调递减并收敛于零，则''f''(''z'')的幂级数在[[单位圆]]上处处收敛，除了''z'' = 1以外。当''z'' = 1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换''ζ'' = ''z''/''R''，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径''R'' ≠ 1的幂级数的收敛性。<ref>(Moretti, 1964, p. 91)</ref>

==证明==
假设''z''是单位圆上的一个点，''z'' ≠ 1。则

:<math>
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0
</math>

所以，对于任何两个正整数''p'' > ''q'' > ''m''，我们有

:<math>
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = 
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}
</math>

其中''S''<sub>''p''</sub>和''S''<sub>''q''</sub>是部分和：

:<math>
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,
</math>

但是，由于|''z''| = 1，而当''n'' > ''m''时，''a''<sub>''n''</sub>是单调递减的正实数，我们又有

:<math>
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = 
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}\,
\end{align}
</math>

现在我们可以使用[[柯西判别法]]来证明''f''(''z'')的幂级数在''z'' ≠ 1时收敛，因为sin(½''θ'') ≠ 0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的''q''，来使''a''<sub>''q''+1</sub>小于任何给定的''ε'' > 0。

==注解==
<references/>

==参考文献==
*Gino Moretti, ''Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964

==外部链接==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsTestForConvergence.html PlanetMath.org] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfAbelsTestForConvergence.html |date=20070312202311 }}

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[[Category:审敛法]]
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