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'''阿贝尔不等式'''（'''Abel's inequality'''），由[[尼尔斯·阿贝尔]]（{{lang-no|Niels Henrik Abel}}）提出，给出了两个向量[[内积]][[绝对值]]的[[上界]]。

设{''a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,...''}为[[单调递减]]或[[单调递增]]的[[实数集]]并设{''b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>,...''}为实数集或[[复数集]]。

如果{''a<sub>n</sub>''}[[单调递增]]：
:<math>
\left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| + a_n - a_1),
</math>
:<math>
B_k =b_1+\cdots+b_k.
</math>
如果{''a<sub>n</sub>''}[[单调递减]]：
:<math>
\left |\sum_{k=1}^n a_k b_k \right | \le \operatorname{max}_{k=1,\dots,n} |B_k| (|a_n| - a_n + a_1),
</math>

阿贝尔不等式可从[[阿贝尔变换]]轻易得出：
:<math>
\sum_{k=1}^n a_k b_k = a_n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} B_k (a_{k+1} - a_k).
</math>

==参考资料==
* {{mathworld|title=Abel's inequality|urlname=AbelsInequality}}
* ''[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Abel_inequality&oldid=18342 ''Abel's inequality''] {{Wayback|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Abel_inequality&oldid=18342 |date=20200320231430 }}'' in ''[[数学百科全书|Encyclopedia of Mathematics]]''.

[[Category:代数不等式]]
[[Category:尼尔斯·阿贝尔]]