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在[[數學]]中，'''阿貝爾範疇'''（或稱'''交換範疇'''）是一個能對[[態射]]與[[對象]]取和，而且[[核 (代数)|核]]與[[上核]]存在且滿足一定性質的[[範疇 (數學)|範疇]]；最基本的例子是[[阿貝爾群]]構成的範疇'''Ab'''。阿貝爾範疇是[[同調代數]]的基本框架。

==定義==
阿貝爾範疇的公理版本繁多，在此僅取其一（見外部連結）。

一個範疇<math>\mathcal{A}</math>若滿足下述條件，則稱'''阿貝爾範疇'''：
# <math>\mathcal{A}</math>是[[加法範疇]]。
# 所有態射皆有[[核 (代数)|核]]與[[上核]]。
# 所有態射皆為[[嚴格態射]]。

只滿足前兩個條件者稱作'''預阿貝爾範疇'''。

若取<math>k</math>為一[[交換環]]，則在上述定義中以''k-加法範疇''代換''加法範疇''，便得到''k-阿貝爾範疇''之定義。

==例子==
* 如上所述，全體[[阿貝爾群]]構成一個阿貝爾範疇'''Ab'''，而有限生成阿貝爾群構成的滿子範疇也是阿貝爾範疇，有限阿貝爾群亦同。
* 設<math>R</math>為環，則左（或右）<math>R</math>-模範疇構成一個阿貝爾範疇；根據[[Mitchell嵌入定理]]，任何[[小範疇|小的]]阿貝爾範疇皆價於某個<math>R</math>-模範疇的一個滿子範疇。
* 如果<math>R</math>是左[[諾特環]]，則有全體有限生成左<math>R</math>-模構成阿貝爾範疇；這是阿貝爾範疇在[[交換代數]]中的主要面貌。
* 由前兩個例子可知：固定一個[[体 (数学)|域]]或[[除環]]，其上的[[向量空間]]成一阿貝爾範疇，有限維向量空間亦同。
* 設<math>X</math>為[[拓撲空間]]，則所有<math>X</math>上的（實或複）[[向量叢]]構成阿貝爾範疇。
* 承上，固定一個阿貝爾範疇<math>\mathcal{A}</math>，則取值於<math>\mathcal{A}</math>的[[層論|層]]與預層都構成阿貝爾範疇。這是阿貝爾範疇在[[代數幾何]]中的主要面貌。
* 若<math>\mathcal{C}</math>為[[小範疇]]而<math>\mathcal{A}</math>為阿貝爾範疇，則所有函子<math>\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{A}</math>構成一個阿貝爾範疇（其態射為[[自然變換]]），若更設<math>\mathcal{C}</math>為[[預加法範疇]]，則所有加法函子<math>\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{A}</math>也構成阿貝爾範疇。這在一方面推廣了空間上預層的例子，一方面也函攝了<math>R</math>-模的例子，因為[[环 (代数)|環]]可視為僅有單個對象的預加法範疇。
* [[拓撲向量空間]]是預阿貝爾範疇，而非阿貝爾範疇。

==基本性質==
* 在阿貝爾範疇中，任何態射<math>f</math>皆可分解為[[單射]]。[[滿射]]，其中的滿射稱為<math>f</math>的''上像''，而單射則稱為<math>f</math>的''像''。此性質源自公理中對態射嚴格性的要求。
* 任一態射<math>f</math>是[[單射]]若且唯若<math>\mathrm{Ker}(f)=0</math>，是[[滿射]]若且唯若<math>\mathrm{Coker}(f)=0</math>，是[[同構]]若且唯若<math>\mathrm{Ker}(f)=0, \mathrm{Coker}(f)=0</math>。
* [[子對象]]與[[商對象]]具良好性質。例如：任一對象的子對象構成的[[偏序關係|偏序集合]]是[[格 (數學)|有界格]]。
* 任一阿貝爾範疇<math>\mathcal{A}</math>可設想為有限生成[[阿貝爾群]]的-{么}-半範疇上的[[模]]；這意謂著我們能構造一個有限生成阿貝爾群<math>G</math>與對象<math>A</math>的[[張量積]]。
* 承上，阿貝爾範疇也是[[上模]]；<math>\mathrm{Hom}(G,A)</math>可以詮釋為<math>\mathcal{A}</math>的對象。若<math>\mathcal{A}</math> [[完備範疇|完備]]，<math>G</math>的有限生成假設可以移除。

==相關概念==
阿貝爾範疇是同調代數的基本框架，它容許討論同調代數中的基本構造，如[[正合序列]]、短正合序列與導函子。

對所有阿貝爾範疇均成立的重要結果包括[[五引理]]（含特例短五引理）與[[蛇引理]]（含特例[[九引理]]）等等。

==源流==
阿貝爾範疇源於[[亞歷山大·格羅滕迪克]]知名的''東北論文''，該論文發表於1950年代，當時存在兩套不同的[[上同調]]理論：群上同調與層上同調，兩者性質相近而定義迥異。格羅滕迪克將兩套理論以阿貝爾範疇上的[[導函子]]統合：一者是[[拓撲空間]]<math>X</math>上的阿貝爾層範疇，一者則是[[群]]<math>G</math>的<math>G</math>-[[模]]範疇，導出上同調的函子分別是<math>\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X, \mathcal{F})</math>與<math>M \mapsto M^G</math>。

==文獻==
* P. Freyd. ''Abelian Categories,'' Harper and Row, New York, 1964. [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html 可在線閱讀.] {{Wayback|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html |date=20210225024602 }}
* Alexandre Grothendieck, ''Sur quelques points d'algèbre homologique'', Tôhoku Mathematics Journal, 1957
* Barry Mitchell: ''Theory of Categories'', New York, Academic Press, 1965.
* N. Popescu: ''Abelian categories with applications to rings and modules'', Academic Press, London, 1973.
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3540279490

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira] 

[[Category:加法范畴]]
[[Category:同調代數|A]]
[[Category:尼尔斯·阿贝尔]]