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在数学中，尤其是[[动力系统]]与[[几何拓扑学|几何拓扑]]中，[[流形]]M上的'''阿诺索夫映射'''（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是[[A公理]]系统的特例。

'''阿诺索夫微分同胚'''（Anosov diffeomorphism）由[[德米特里·阿诺索夫|德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫]]引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。

== 概述 ==
有三个相互联系但又有区别的定义：

* 若M上的可微映射f在[[切丛]]上有[[双曲集|双曲结构]]，则称f是一个'''阿诺索夫映射'''。例子有[[伯努利映射]]，以及[[阿诺尔德猫映射]]。
* 若这个映射还是一个[[微分同胚]]，则称为'''阿诺索夫微分同胚'''。
* 若流形上的一个[[流 (数学)|流]]把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为'''阿诺索夫流'''。

阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是[[结构稳定]]的，并且组成了全体映射（流）的开子集（<math>\mathcal{C}^1</math>拓扑）。

并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，[[球面]]上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的'''线性阿诺索夫微分同胚'''，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚[[拓扑共轭]]。

对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。

另外，也不清楚是否每个<math>\mathcal{C}^1</math>且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把<math>\mathcal{C}^1</math>换成<math>\mathcal{C}^2</math>的条件下是成立的。

== 黎曼曲面（的切丛）上的阿诺索夫流 ==
负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的[[庞加莱半平面模型]]的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即[[上半平面]]与福克斯群的商。设<math>\mathbb{H}</math>为上半平面，<math>\Gamma</math>为福克斯群，<math>M=\mathbb{H}/\Gamma</math>为负曲率黎曼曲面，<math>T^1M</math>为流形M上的单位向量的切丛，<math>T^1\mathbb{H}</math>是<math>\mathbb{H}</math>的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复[[直线丛]]的[[主丛]]。

=== 李向量场 ===
注意<math>T^1\mathbb{H}</math>同构于[[李群]]<math>\text{PSL}(2,\mathbb{R})</math>。这个群是上半平面的保向[[等距同构]]组成的群。<math>\text{PSL}(2,\mathbb{R})</math>的[[李代數|李代数]]是<math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})</math>，由以下矩阵表示

<math>J=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \quad 
X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad 
Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>

<math>[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J</math>

指数映射

<math>g_t=\exp{tJ}=\begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix}\quad
h^*_t=\exp{tX}=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad
h_t=\exp{tY}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}</math>

定义了流形<math>T^1\mathbb{H}=\text{PSL}(2,\mathbb{R})</math>上的右不变流，而<math>T^1M</math>与此类似。定义<math>P=T^1\mathbb{H},Q=T^1M</math>，这些流定义了P和Q上的向量场。

=== 阿诺索夫流 ===
<math>g_t</math>是P和Q上的[[测地线|测地流]]。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在<math>g_t</math>下是左不变的。换句话说，空间<math>TP</math>和<math>TQ</math>分成了三个一维空间，或[[子丛]]，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。

精确地说，切丛<math>TQ</math>可以写成直和

<math>TQ=E^+\oplus E^0\oplus E^-</math>

这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素<math>g=g_t</math>的作用下不变。

要比较不同点q处<math>T_qQ</math>的向量的长度，需要有度量。<math>T_eP = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})</math>上的任何[[内积空间|内积]]都可扩张成P上的左不变[[黎曼流形|黎曼度量]]，进而得到Q上的黎曼度量。向量<math>v\in E^+_q</math>的长度在<math>g_t</math>的作用下指数增大。向量<math>v\in E^-_q</math>的长度在<math>g_t</math>的作用下指数衰减。<math>E^0_q</math>中的向量不变。测地流是不变的

<math>g_sg_t=g_tg_s=g_{s+t}</math>

但另外两个分别是衰减和增大的：

<math>g_sh^*_t=h^*_{t\exp{(-s)}}g_s</math>

<math>g_th_t=h_{t\exp{s}}g_s</math>

其中<math>E^+_q</math>中的切向量由曲线<math>h_t</math>在<math>t=0</math>处的导数给出。

=== 阿诺索夫流的几何解释 ===
当作用在上半平面的点<math>z=i</math>时，<math>g_t</math>对应了上半平面的一条过点<math>z=i</math>的测地线。这个作用就是<math>\text{SL}(2,\mathbb{R})</math>在上半平面的标准[[莫比乌斯变换]]，所以

<math>g_t\cdot i=\begin{pmatrix} \exp{(t/2)} & 0 \\ 0 & \exp{(-t/2)} \end{pmatrix}\cdot i=i\exp{t}</math>

一般的测地线

<math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot i\exp{t}=\frac{ai\exp{t}+b}{ci\exp{t}+d}</math>

式中<math>a,b,c,d</math>是实数，且<math>ad-bc=1</math>。曲线<math>h^*_t</math>与<math>h_t</math>称为[[极限圆]]。极限圆对应于[[极限球面]]的法向量在上半平面的运动。

== 另见 ==

* [[莫尔斯-斯梅尔系统]]
* [[偽阿諾索夫映射|伪阿诺索夫映射]]

== 参考资料 ==

* Ha<span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Y-system%2CU-system%2C+C-system&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.pub=Springer+Science%2BBusiness+Media+B.V.+%2F+Kluwer+Academic+Publishers&rft.date=2001&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3DY%2Fy099010&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAnosov+diffeomorphism" class="Z3988"></span>zewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Y-system Y-system,U-system, C-system] {{Wayback|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Y-system |date=20191128132744 }}", ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Anthony Manning, ''Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature'', (1991), appearing as Chapter 3 in ''Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces'', Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). <nowiki>ISBN 0-19-853390-X</nowiki> ''(Provides an expository introduction to the Anosov flow on'' SL(2,'''R''').)
* ''This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.''
* Toshikazu Sunada(砂田 利一), ''Magnetic flows on a Riemann surface'', Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.

[[Category:微分同胚]]
[[Category:动力系统]]
[[Category:双曲几何]]