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{{Distinguish2|{{tsl|en|Circles of Apollonius|阿波罗尼奥斯对圆的研究}}（[[阿波罗尼奥斯问题]]的一部分）}}
{{NoteTA
|T=zh-hant:阿波羅尼斯圓;zh-hans:阿波罗尼奥斯圆;
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[[File:Apollonian_circles.svg|thumb|right|350px|圖 1 ：阿波羅尼奧斯圓。每一個藍色圓與每一個紅色圓相互正交。每一個紅色圈都經過點 C 與點 D 。]]

'''阿波羅尼奧斯圓'''是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互[[正交]]。這些圓構成了[[雙極坐標系]]的[[基 (線性代數)|基]]。阿波羅尼奧斯圓是[[希臘]][[數學家]][[阿波羅尼奧斯]]（[[古希腊语]]：{{Lang|grc|Ἀπολλώνιος}}）發現的。

==定義==
阿波羅尼奧斯圓是[[線段]]定義的，標記此線段為 <math>\overline{CD}\,\!</math> 。

===第一族（藍色圓）===
第一族中的每一個都由一個正[[實數]] ''r'' 確定，這些圓定義為滿足下列條件的點 ''X'' 的[[軌跡]]：
:<math>\left\{X\mid \frac{d(X,C)}{d(X,D)} = r\right\}.</math>
即 ''X'' 到 ''C'' 的距離與 ''X'' 到 ''D'' 的距離之比值為 ''r''.

當 ''r'' 很接近零時，相應的圓會靠近 ''C'' 的一側，而對接近 ∞ 的 ''r'', 相應的圓則靠近 ''D'' 的一側。至於當''r''&nbsp;=&nbsp;1 時，該圓會退化為線段 ''CD'' 之[[中垂線]]。

===第二族（紅色圓）===
第二族中的每個圓都由角 ''θ'' 確定， 這些圓定義為滿足下列條件的點 ''X'' 的軌跡：
:<math>\left\{X\mid \; \measuredangle CXD \; = \theta\right\}.</math>
其中<math> \measuredangle CXD </math> 表示 ''CXD'' 的有向角。

當 ''θ'' 取遍 0 到 ''π'' 之所有值時，上式生成所有經過 ''C'' 和 ''D'' 的圓。

==性質==
不一樣圓圈的固定比例 <math>k\,\!</math> 必不一樣。每一個藍圓與藍圓之間互不[[同心 (幾何)|同心]]，互不相交。

每一個藍圓與每一個紅圓以直角相交，可以簡易地解釋如下：關於一個圓心為點 C 的圓 Q ，一族的藍阿波羅尼奧斯圓的[[反演]]像，形成了一組同心圓，其圓心在點 D<nowiki>'</nowiki> 。點 D 關於圓 Q 的[[反演]]是點 D<nowiki>'</nowiki> 。同樣的變換把一族的紅圓反演為一組從點 D<nowiki>'</nowiki> 放射出來的直線。這樣，反演將[[雙極坐標系|雙極坐標]]變換為[[極坐標系|極坐標]]。在極坐標裏，每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個[[共形映射|共形變換]]，所以，每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。

== 參閱 ==
[[反演]]

== 參考文獻 ==
* C. Stanley Ogilvy (1990), ''Excursions in Geometry'', Dover. ISBN 0-486-26530-7。
{{幾何小作品}}

[[Category:圓|A]]
[[Category:初等幾何|A]]
[[Category:平面幾何|A]]