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[[数学]]中，'''阿廷–施莱尔理论'''是[[伽罗瓦理论]]的分支，具体地说是[[库默尔理论]]的正[[特征 (代数)|特征|]]类似物，用于度数等于特征''p''的伽罗瓦[[域扩张|扩张]]。{{harvs|txt|author1-link=埃米尔·阿廷|author2-link=奥托·施莱尔|last1=Artin|last2=Schreier|year=1927}}提出了素数度''p''扩张的阿廷–施莱尔理论，{{harvs|txt|authorlink=Ernst Witt|last=Witt|year=1936}}将其推广到素数度<math>p^n</math>的扩张。

若''K''是特征为[[素数]]''p''的[[域 (数学)|域]]，那么任何[[多项式]]的形式都是

:<math>\forall \alpha\in K,\ X^p - X - \alpha,\,</math>

称作阿廷–施莱尔多项式。若对<math>\forall \beta\in K,\ \alpha\neq \beta^p-\beta</math>，则此多项式在<math>K[X]</math>中[[不可约]]，其在''K''上的[[分裂域]]是''K''的''p''度[[阿贝尔扩张|循环扩张]]。这是因为对任何根''β''，对<math>1\le i\le p</math>，数''β'' + ''i''由[[费马小定理]]构成所有根，因此分裂域是<math> K(\beta) </math>。

反过来，''K''的任何度数''p''等于''K''的特征的伽罗瓦扩张，都是阿廷–施莱尔多项式的分裂域。这可以用[[库默尔理论]]中的加法对应方法来证明，如[[希尔伯特定理90]]与加性[[伽罗瓦上同调]]，这些扩张称为阿廷–施莱尔扩张。

阿廷–施莱尔扩张在[[伽罗瓦理论|根式可解性]]理论中扮演着重要角色，表示可解链中可能的扩张类之一。
它们在[[阿贝尔簇]]及其[[同源 (数学)|同源]]理论中也发挥着作用。在特征''p''中，阿贝尔簇的''p''度同源对于函数域而言，或给出阿廷–施莱尔扩张，或给出[[纯不可分扩张]]。

==阿廷–施莱尔–维特扩张==
阿廷–施莱尔理论有类似的理论，即{{harvs|txt|authorlink=Ernst Witt|last=Witt|year=1936}}提出的用[[维特向量]]描述''p''幂（不只是''p''本身）度的特征''p''循环扩张。

==参考文献==
*{{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=埃米尔·阿廷 | last2=Schreier | first2=Otto | author2-link=奥托·施莱尔 | title=Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper | publisher=Springer Berlin / Heidelberg | year=1927 | journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | issn=0025-5858 | volume=5 | pages=225–231 | doi=10.1007/BF02952522}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}} Section VI.6 
* {{Citation
| last1=Neukirch | first1=Jürgen | author-link=Jürgen Neukirch
| last2=Schmidt | first2=Alexander | last3=Wingberg | first3=Kay
| title=Cohomology of Number Fields
| publisher=Springer-Verlag | location=Berlin
| series=''Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften''
| volume=323
| year=2000
| isbn=978-3-540-66671-4 

| mr=1737196 

| zbl= 0948.11001 

}} Section VI.1
* {{Citation | url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 | last1=Witt | first1=Ernst | author1-link=Ernst Witt | title=Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p<sup>n</sup>. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p<sup>n</sup> | language=German | year=1936 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=176 | pages=126–140 | doi=10.1515/crll.1937.176.126 | accessdate=2024-02-15 | archive-date=2015-03-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150326173304/http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 | dead-url=no }}

[[Category:伽罗瓦理论]]