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{{NoteTA|G1=Math
|1 = zh-cn:實數域; zh-tw:實數體
}}

在[[数学]]中，'''阿尔泽拉-阿斯科利定理'''是[[泛函分析]]中的一个[[定理]]，给出了从[[紧集|紧致]][[度量空间]]射到度量空间的[[函数]][[集合 (数学)|集合]]在[[一致收敛]]的[[拓扑学|拓扑]]意义上是紧集的一個[[充分必要条件]]。其中主要涉及的条件是函数集的[[等度连续]]性质。

等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位[[意大利]][[数学家]][[朱利奥·阿斯科利]]（於1883年－1884年）<ref>Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .</ref> 和[[切萨雷·阿尔泽拉]]（於1882年－1883年）<ref>Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159 .</ref>提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明<ref>Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55–74 .</ref>。而不久之后，在1906年，[[法国]]数学家[[莫里斯·弗雷歇|弗雷歇]]又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或[[豪斯多夫空间]]）。

在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次獲证的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了[[分析学]]、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。<ref>{{cite web|title=The Arzel-Ascoli Theorem|author=O. Williamson|publisher=Department of Mathematics and Statistics University of Reading|date=2014-03-03|accessdate=2017-03-12|url=https://www.overleaf.com/articles/the-arzela-ascoli-theorem/qrqxxmjnyqwc/viewer.pdf}}{{Dead link|date=2019年7月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
该定理是利用[[欧拉法]]证明[[常微分方程]]组理论中的[[皮亚诺存在性定理]]时不可或缺的一环，<ref>{{cite book|title=常微分方程教程|url=https://archive.org/details/20000unse_l8z0|author=丁同仁|publisher=高等教育出版社|year=2004|isbn=9787040143690|page=[https://archive.org/details/20000unse_l8z0/page/70 70]-74}}</ref>也是[[複分析]]中的[[蒙泰尔定理]]的证明中的重要组成部分。此外，[[彼得-外尔定理]]的一个证明中用到了此定理<ref>{{cite book|title=Unitary Representations of Locally Compact Groups: The Elementary and Type I Theory
|author=Louis Auslander|publisher=Department of Mathematics, Yale University|year=1962}}</ref>。

==定義==
以下的定義在定理的叙述和证明中会不斷使用到。<ref name="zorich">{{cite book|title=数学分析|volume=2|author=[[弗拉基米尔·安东诺维奇·卓里奇|卓里奇]]|page=348-350|year=2006|isbn=9787040202571|publisher=[[高等教育出版社]]}}</ref>

=== 等度連續 ===
设 K 和 X 是两个[[度量空间]]，<math>C(K,X)</math>是蒐集所有从 K 到 X 的连续映射的所形成的[[集合 (数学)|集合]]。如果 <math>C(K,X)</math>的一个[[子集]] <math>\mathcal{F}</math>&thinsp;滿足<blockquote>对所有 <math>x \in K</math>和 <math>\epsilon >0</math>，存在一個 x 的[[邻域]] <math>U_x</math>，使得对所有 <math>y \in U_x</math> 和 <math>f\in\mathcal{F}</math>，都有 <math>d\left(f(y) , f(x)\right) < \epsilon</math></blockquote>則称 <math>\mathcal{F}</math>是'''[[等度连续]]'''的。

=== 一致有界與逐點有界 ===
设 K 是一个[[度量空间]]，<math>C(K,\mathbf{R})</math>是蒐集所有 K 上的實連續函數。設 <math>\mathcal{F}</math>是 <math>C(K,\mathbf{R})</math>的一个[[子集]]

* 如果存在 <math>M>0</math>，使得對所有 <math>f\in\mathcal F, x\in K</math>都有 <math>|f(x)|<M</math>，則稱 <math>\mathcal{F}</math>是'''一致有界'''的。
* 如果對所有 <math>x\in K</math>，都有 <math>\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|f(x)|<\infty</math>，則稱 <math>\mathcal{F}</math>是'''逐點有界'''的。

注意到一致有界可推得逐點有界，此外，如果已知 <math>\mathcal{F}</math>是等度連續且 K 是{{Tsl|en|totally bounded space|完全有界}} (比如說緊緻) 的，則一致有界若且唯若逐點有界。

==叙述==
=== 实数域上的情况 ===
這是最簡單的情況，此时阿尔泽拉-阿斯科利定理的可以敘述为<ref name="PM">{{cite web|title=Ascoli-Arzelà theorem|publisher=[[PlanetMath]]|url=http://planetmath.org/node/32961|accessdate=2017-03-11|archive-date=2017-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20170312060710/http://planetmath.org/node/32961|dead-url=no}}</ref>
:考虑一个定义在闭区间 <math>[a,b]</math> 上的实函数序列 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math>。如果<math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math>是逐點有界且等度连续的，那么在这个函数序列中，必定存在一个子序列 <math>\{f_{n_k}\}_{k\in \mathbf N}</math>是[[一致收敛]]的。另一方面，如果 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math> 的任何子序列<math>\{f_{n_k}\}_{k\in \mathbf N}</math>都有一個一致收斂的子序列<math>\{f_{n_{k_r}}\}_{r\in \mathbf N}</math>，則 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math>是逐點有界且等度连续的。

====例子====
设 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math> 是一个逐點有界、可微分，并且导数是一致有界的函数序列，即<math>\sup_{f\in \mathcal F, x\in K}|f'(x)|<\infty</math>，則可以证明 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math>也是等度连续的，因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列<ref name="zorich"/>。

=== 紧度量空间和紧豪斯多夫空间 ===
对于一般的度量空间，阿尔泽拉-阿斯科利定理斷言<ref name="PM"/>

:设 <math>X </math> 为一个[[緊空間|緊]]度量空间，<math>Y </math> 为一个完备的度量空间，那么 <math> C(X,Y) </math>的子集 <math>\mathcal{F}</math>在[[紧致开拓扑]]中是紧致的当且仅当它是[[等度连续]]、完全有界的闭集。

这里，<math> C(X,Y) </math> 表示从 <math>X </math>射到 <math>Y </math>的连续函数的集合。而它的子集 <math>F </math> 被称作'''完全有界'''当且仅当 <math> \forall x \in X</math>，集合 <math> \{f(x): f \in F\} </math>都是 <math>Y </math>中[[相对紧致]]的子集。如果一个集合 ''A'' 在[[紧致开拓扑]]中是紧致的，那么 ''A'' 中的所有序列都拥有一个在 ''A'' 中一致收敛的子序列。

更广泛地，对于 ''X'' 是紧[[豪斯多夫空间]]的情况，定理一样成立：<ref>Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience </ref>
:设 <math>X </math> 为一个紧豪斯多夫空间，那么 <math> C(X,Y) </math> 的子集 <math>F </math> 在[[紧致开拓扑]]中是紧致的当且仅当它是[[等度连续]]、完全有界的闭集。

阿尔泽拉-阿斯科利定理是对于紧豪斯多夫空间上，连续函数的代数性质的一个重要结果。进一步的研究可以将上面的结果推广。比如说，函数的取值空间可以換为豪斯多夫的[[拓扑向量空间]]，这时仍然有基本相同的定理<ref>Kelley, J. L.; Namioka, I. (1982), Linear Topological Spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901695</ref><ref>Kelley, J. L. (1975), General topology, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901251</ref>。

== 证明 ==
以下證明在實數域上的敘述。

=== 必要性 ===
该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小<ref name="app"/>。事实上，由紧度量空间 ''X'' 到完备的度量空间 ''Y'' 的任何一列连续映射序列 {''f''<sub>''n''</sub>} 如果在 ''X'' 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射 ''f.'' 由紧度量空间上，连续映射 ''f'' 的[[一致连续]]性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。<ref name="zorich"/>

若集合 ''F'' 中的映射不一致有界，则由定义，对任意 ''n''&isin;'''N''', 存在 F 中的映射 ''f''<sub>''n''</sub>，其范数大于''n'', 於是 {''f''<sub>''n''</sub>} 的任意一个子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收敛，与假设矛盾。若集合 ''F'' 中的映射不等度连续，则存在 ε>0，对任意的 ''n''&isin;'''N'''，存在 ''x''<sub>1,</sub> ''x''<sub>2</sub> 和集合中某个映射 ''f''<sub>''n''</sub>，满足 ''d''(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>) < 1/n，但 d(''f''<sub>''n''</sub>(''x''<sub>1</sub>), ''f''<sub>''n''</sub>(''x''<sub>2</sub>)) ≥ ε. 这样，{''f''<sub>''n''</sub>} 的任意一个子列都不是等度连续的，从而任意子列都非一致收敛，同样与假设矛盾。<ref name="zorich"/>

=== 充分性 ===
充分性的证明用到了[[对角论证法]]<ref name="app">{{cite book|title=Applications of Functional Analysis and Operator Theory|author=V. Hutson，J. Pym，M. Cloud|publisher=Elsevier|isbn=9780080527314|year=2015|page=154-155}}</ref>。若紧度量空间 X 是个[[有限集]]，則充分性显然。因此，設 X 是個無窮集，由 X 的緊緻性可知，存在在 X 中[[稠密]]的序列 <math>E=\{x_k\}_{k\in \mathbf N}</math>。

考虑 <math>\mathcal{F}</math>中任意一個映射序列 <math>\{f_n\}_{n\in \mathbf N}</math>。由于 ''<math>\mathcal{F}</math>'' 是逐點有界的，序列 <math>\{f_n(x_1)\}</math> 在 Y 中是有界的。根据[[波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理]]和 ''Y'' 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作<math>\{f^1_n(x_1)\}</math>。而序列<math>\{f^1_n(x_2)\}</math>又存在收敛的子列，记作 <math>\{f^2_n(x_2)\}</math> … 。如此重复，即得到了一系列的映射序列 <math>\{f^1_n\}, \{f^2_n\}, \{f^3_n\}, \dots</math>。考虑其中對角線元素 <math>g_n=f_n^n</math>所构成的序列<math>\{g_n\}_{n\in \mathbf N}</math>。則对于序列 E 中任意一点 ''<math>x_k</math>''，序列 <math>\{g_n(x_k)\}_{n\geq k}</math>是 <math>\{f^k_n(x_k)\}_{n \in \mathbf N}</math>的子序列，因此序列 <math>\{g_n(x_k)\}_{n\in \mathbf N}</math>收敛。<ref name="zorich" /><ref name="app" />

給定 <math>\epsilon >0</math>，因為 ''<math>\mathcal{F}</math>''是等度连续的，延用等度连续定義裡的 <math>U_x</math>，所以 <math>\{U_x\}_{x\in [a,b]}</math>是 <math>[a,b]</math> 區間的一個開覆蓋。由於 <math>[a,b]</math> 區間是緊緻的，存在有限集 <math>\{\xi_1,\dots ,\xi_l\}</math>使得 <math>[a,b]=\bigcup_{i=1}^l U_{\xi_i}</math>。因為 E 在 <math>[a,b]</math>中是稠密的，所以 E 有一個子集 <math>\{x_{n_1},\dots ,x_{n_l}\}</math>滿足 <math>x_{n_i}\in U_{\xi_i}</math>。由 ''<math>g_n</math>'' 在 E 中各点的收敛性可知，对每个 <math>x_{n_i}</math>，存在 ''<math>N_i</math>''，使得对任一對比 ''<math>N_i</math>''大的正整數對 m 和 n 都有 <math>|g_m(x_{n_i})-g_n(x_{n_i})|<\epsilon</math>。定義 <math>N=\max_{1\leq i\leq l}N_i</math>，則前一句話中的 <math>N_i</math>可以改成 N。<ref name="zorich"/><ref name="app"/>

对 X 中每个点 x，存在一個 <math>\xi_i</math>使得 <math>x\in U_{\xi_i}</math>。而对于任何比 N 大的正整數對 m 和 n，都有 <math>|g_m(x_{n_i})-g_n(x_{n_i})|<\epsilon</math>，此外由<blockquote><math>|g_m(x_{n_i})-g_m(\xi_i)|<\epsilon</math>、<math>|g_m(x)-g_m(\xi_i)|<\epsilon</math>、<math>|g_n(x_{n_i})-g_n(\xi_i)|<\epsilon</math>、<math>|g_n(x)-g_n(\xi_i)|<\epsilon</math></blockquote>可知 <math>|g_m(x)-g_n(x)|<5 \epsilon</math>。<ref name="zorich" /><ref name="app" />

因此，<math>\{g_n\}</math>是一個 <math>C([a,b])</math>上的柯西列，因為 <math>[a,b]</math>是完備的可推得 <math>C([a,b])</math>也是，所以 <math>\{g_n\}</math>是 <math>\{f_n\}</math>的一致收斂子序列。<ref name="zorich" /><ref name="app" />

==参考来源==
<references/>

{{planetmath|urlid=ascoliarzelatheorem|title=Ascoli-Arzelà theorem}}
{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:紧致性定理]]
[[Category:连续映射]]
[[Category:实分析定理]]
[[Category:泛函分析定理]]
[[Category:函数空间的拓扑]]