查看“︁阿列夫數”︁的源代码

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|G1 = Math
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在[[集合論]]中，'''阿列夫數'''或'''艾禮富數'''是一連串[[超限数|超窮基數]]。其標記符號為{{UnicodeMath| ℵ }}（由[[希伯來字母]]{{rtl-lang|he|א}}(aleph)演變而來）加角標表示。

[[可數集]]（包括[[自然數]]）的勢標記為<math>\aleph_0</math>，下一個較大的[[勢 (數學)|勢]]為<math>\aleph_1</math>，再下一個是<math>\aleph_2</math>，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一[[序數]]{{Serif| α }}定義一個基數<math>\aleph_\alpha</math>。

這一概念來自於[[格奥尔格·康托尔|康托尔]]，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的[[無限]] ({{Serif|∞}}) 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小，而無限只是在[[极限 (数学)|極限]]的寫法中出現，或是定義成[[擴展的實數軸]]上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。

==構造性定義==
阿列夫-{}-數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數，是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題：<ref name=CJGRealValueFun>{{Cite book|author=[[陳建功]]|title=實函數論|publisher=[[科學出版社]]|date=1958.9|location=[[北京市|北京]]|unified=13031·41<!--“本社書號”：108·13-1-->}}</ref>{{Page|28<!--Section 11, 序數之勢-->}}
* ℵ<sub>0</sub>定義從前，它是一個[[良序集]][[自然數|ℕ]]的序數；
* 考慮良序集<ref name=CJGRealValueFun />{{Page|25}}按照某种同構關係<ref group='注'>卽……</ref>划出的[[等價類]]<ref name=CJGRealValueFun />{{Page|18}}<ref group="注">如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的“末元素”的話，就把它叫做[[序數]]。</ref>；
** 如上定義的等價類有一個特點：可比較<ref name=CJGRealValueFun />{{Page|25}}，
* 設ℵ<sub>a</sub>已定義且是一良序集的基數，考慮：
*# 由於ℵ<sub>a</sub>是某良序集的基數，這個良序集必存在于某個等價類中；一定還有其他基數爲ℵ<sub>a</sub>的良序集，這些良序集必將也存在于某個等價類中（可能與上面的同屬同一個等價類，但不一定）。所有這些等價類<ref group='注'>基於前面所說的此類等價類的一些性質，這些等價類（或序數）……</ref>將做成一集，記爲Z(ℵ<sub>a</sub>)。
*# Z(ℵ<sub>a</sub>)也是良序集。<ref name=CJGRealValueFun />{{Page|27}}
*# 定義ℵ<sub>a+1</sub>:{{=}} card(Z(ℵ<sub>a</sub>))，它是一個良序集的基數。

==阿列夫1==
<math>\aleph_1</math>是所有可數[[序數]]集合的[[势 (数学)|勢]]，稱為 '''ω<sub>1</sub>'''或有時為'''Ω'''。這個'''ω<sub>1</sub>'''本身是一個比所有可數序數更大的序數，因此它為一個[[不可數集]]。

===數“阿列夫”===
在中國大陸，[[實數集]]的基數常被記爲{{UnicodeMath|𝖈}}或{{UnicodeMath| ℵ}}，卽{{UnicodeMath| ℵ :{{=}} ℶ₁}}，這樣連續統假設就常常被表述爲{{UnicodeMath| ℵ {{=}} ℵ₁}}．閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學[[數學分析]]（[[微積分]]）時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数，事實上他們遇到的是 “{{UnicodeMath|ℵ}}”或“{{UnicodeMath|𝖈}}”，卽角標爲1的[[ℶ 數|{{UnicodeMath| ℶ }}數]]。除非討論集合論，否則阿列夫数將是最不常用的基數之一。

==另見==
* [[康托|格奧爾格·康托爾]]
* [[基数 (数学)|基數]]
* [[不可數集合]]
* [[連續統假設]]：不存在一個基數絕對大於[[可數集]]而絕對小於[[實數集]]的集合。

==註釋==
{{reflist|group=注}}
==參考文獻==
{{reflist}}

==外部連結==
* {{MathWorld | urlname=Aleph-0 | title=Aleph-0}}
* {{PlanetMath | urlname=AlephNumbers | title=aleph numbers | id=5710}}


[[Category:集合论|A]]
[[Category:基数|A]]
[[Category:无穷]]
[[Category:數學小作品]]