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在[[數學]]中，'''阿佩爾序列'''是得名于十九世紀[[法國]][[數學家]][[保羅·埃米尔·阿佩爾]]（Paul Émile Appell）<ref>{{cite web | url = http://140.128.17.1/mkuo/2002%BC%C6%BE%C7%A5v/iv/19/france.htm | title = 十九世紀法國數學家 - 阿佩爾 | author = 郭宗琦 | publisher = 數學家辭典(p342), 湖北教育出版社 | accessdate = 2011-06-29 }}{{dead link|date=2018年5月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>的一類[[多項式序列]] {''p''<sub>''n''</sub>(''x'')}<sub>''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...</sub>。阿佩爾序列滿足以下關係：
:<math>{d \over dx} p_n(x) = np_{n-1}(x),</math>

其中的 ''p''<sub>0</sub>(''x'') 是非零常數。

除了一些平凡的例子如 {&nbsp;''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;} 以外，最值得注意的阿佩爾序列是[[埃爾米特多項式]]、[[伯努利多項式]]以及[[歐拉多項式]]。所有的阿佩爾序列都是[[謝弗序列]]，但要注意的是絕大多數謝弗序列都不是阿佩爾序列。

==等價的阿佩爾序列定義方式==
最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的
* 對所有的 ''n'' = 1, 2, 3, ...,
*:<math>{d \over dx} p_n(x) = np_{n-1}(x),</math>
*:並且 ''p''<sub>0</sub>(''x'') 是一個非零常數
的關係式。此外，以下的條件也可以被驗證是與之等價的：

# 純數數列 {''c''<sub>''n''</sub>}<sub>''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...</sub> 滿足 ''c''<sub>0</sub>&nbsp;≠&nbsp;0，並且
#:<math>p_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} c_k x^{n-k};</math>
# 純數數列 {''c''<sub>''n''</sub>}<sub>''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;...</sub> 滿足 ''c''<sub>0</sub>&nbsp;≠&nbsp;0，並且
#:<math>p_n(x) = \left(\sum_{k=0}^\infty {c_k \over k!} D^k\right) x^n,</math>
#: 其中 <math>D = {d \over dx};</math>
# 對所有的 ''n'' = 0, 1, 2, ...,
#:<math>p_n(x+y) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) y^{n-k}.</math>

==遞歸公式==
假設

:<math>p_n(x) = \left(\sum_{k=0}^\infty {c_k \over k!} D^k\right) x^n = Sx^n,</math>

其中後一個等式是在以''x''為不定元的多項式構成的[[線性空間]]中的線性算子 ''S'' 的定義式。并定義：

:<math>T = S^{-1} = \left(\sum_{k=0}^\infty {c_k \over k!} D^k\right)^{-1} = \sum_{k=1}^\infty {a_k \over k!} D^k</math>

為 ''S'' 的逆算子，其中的係數 ''a''<sub>''k''</sub> 是[[形式冪級數]]的逆係數。這樣得到

:<math>Tp_n(x) = x^n.\,</math>

在[[影子演算]]的約定中，算子 ''T'' 一般被用來代表阿佩爾序列 {''p''<sub>''n''</sub>}，可以定義對數算子：

:<math>\log T = \log\left(\sum_{k=0}^\infty {a_k \over k!} D^k \right) </math>

運用通常的 log(1&nbsp;+&nbsp;''x'') 的冪級數展開表達式以及通常的複合形式冪級數定義後，可以得到：

:<math>p_{n+1}(x) = (x - (\log T)')p_n(x).\,</math>

當阿佩爾序列是[[埃爾米特多項式]]的時候，這個關係式也可以變化為埃爾米特多項式的遞推公式。

==參見==

* [[謝弗序列]]
* [[影子演算]]
* [[廣義阿佩爾多項式]]
* [[Wick积]]

==參考來源==
{{reflist}}

* Paul Appell, "Sur une classe de polynômes", ''Annales scientifiques de l'[[École Normale Supérieure]] 2<sup>e</sup> série'', tome 9, 1880.
* Steven Roman and Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", ''Advances in Mathematics'', volume 27, pages 95 – 188, (1978).
* [[Gian-Carlo Rota|G.-C. Rota]], D. Kahaner, and [[Andrew Odlyzko|A. Odlyzko]], "Finite Operator Calculus", ''Journal of Mathematical Analysis and its Applications'', vol. 42, no. 3, June 1973.  Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
* {{cite book | author=Steven Roman | title= The Umbral Calculus | publisher= [[Dover Publications]]}}
* {{cite book | author=Theodore Seio Chihara | title= An Introduction to Orthogonal Polynomials | publisher= Gordon and Breach, New York | year=1978 | isbn = 0-677-04150-0}}

==外部連結==
* MathWorld中的[http://mathworld.wolfram.com/AppellSequence.html 阿佩爾序列] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/AppellSequence.html |date=20110629041310 }}{{en}}
 
[[Category:多項式]]