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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Damped spring.gif|right|frame|一个有阻尼的[[弹簧振子]]振动示意图。从振动形式看，这是一个欠阻尼体系。]]
'''阻尼'''（{{lang-en|'''damping'''}}）是指任何[[振动]]系统在振动中，由于外界作用（如流體[[阻力]]、[[摩擦力]]等）和/或系统本身固有的原因引起的[[振幅|振动幅度]]逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

在實際振動中，由於摩擦力總是存在的，所以振動系統最初所獲得的能量，在振動過程中因阻力不斷對系統做負功，使得系統的能量不斷減少，振動的強度逐漸減弱，振幅也就越來越小，以至於最後的停止振動，像這樣的因系統的力學能，由於摩擦及轉化成內能逐漸減少，振幅隨時間而減弱振動，稱為阻尼振動。
*當阻尼較強時，阻尼振子幾乎沒有振動，振幅逐漸減小，達到穩定平衡，稱為過阻尼。
*當阻尼較弱時，阻尼振子必須緩慢的經由多次振動逐漸把振幅減小，最後回到平衡位置，因此達成穩定平衡的時間較久，稱為欠阻尼。
*另一種情形是阻尼振子以最平穩的速度，最短的時間達到穩定平衡，稱為臨界阻尼。

==词源==
“阻尼”源自[[英语]]“damping”，其动词形式“damp”意为阻抑、减弱。1933年8月21日至9月2日召开的[[中央研究院物理研究所]]第一次名词审查会议上，名词审查委员会主任委员[[杨肇燫]]以“尼”字有逐步减阻之义<ref>《[[爾雅]]·釋詁下》：“尼，定也。”[[郭璞]]注：“尼者，止也，止亦定。”《[[玉篇]]·[[尸部]]》：“尼，止也。”</ref>，提出将该词译作“阻尼”而获赞同，自此被采纳而定案。<ref>{{Cite web |url=http://www2.cdstm.cn/zhuanlue/persondetailsright4474-2.html?id=176790&isLast=true&zjid=176783&personid=176783 |title=存档副本 |accessdate=2019-01-20 |archive-date=2019-01-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190121064154/http://www2.cdstm.cn/zhuanlue/persondetailsright4474-2.html?id=176790&isLast=true&zjid=176783&personid=176783 |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite journal| issn = 1673-8578| volume = 0| issue = 01| pages = 4| author = 钱临照| authorlink = 钱临照| title = 物理学名词审定的早期工作——怀念杨肇燫、陆学善| journal = 中国科技术语| access-date = | date = 1988-06-15| url = https://www.term.org.cn/CN/abstract/abstract10667.shtml| archive-date = 2024-08-16| archive-url = https://web.archive.org/web/20240816032825/https://www.term.org.cn/CN/abstract/abstract10667.shtml| dead-url = no}}</ref>

不同于汉语中“尼”经常作为[[音译]][[语素]]的情况（如“[[比丘尼]]”“[[尼龙]]”“[[突尼斯]]”），“阻尼”是用两个同义语素对“damping”进行的[[意译]]。

==阻尼模型==
在[[物理學]]和[[工程學]]上，阻尼的力学模型一般是一个与振动[[速度]]大小成[[正比]]，与振动速度方向相反的[[力]]，该模型称为'''粘性'''（或'''黏性'''）'''阻尼模型'''，是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟[[空气]]、[[水]]等[[流体]]对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是，[[自然界]]中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制，譬如在具有恒定[[摩擦系数]]的桌面上振动的弹簧振子，其受到的阻尼力就仅与自身[[重量]]和摩擦系数有关，而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外，阻尼的具体形式还包括[[电磁阻尼]]、[[介质阻尼]]、[[结构阻尼]]等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的[[数学模型]]，但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例，作一简单的说明。

粘性阻尼可表示为以下式子：
:<math>
\mathbf{F} = -c \mathbf{v}
</math>

:其中'''F'''表示阻尼力，'''v'''表示振子的运动速度（[[矢量]]），''c'' 是表示阻尼大小的[[常数]]，称为'''阻尼系数'''，[[国际单位制]]单位为[[牛頓 (單位)|牛顿]]·秒/米。

上述关系类比于[[电学]]中定义[[电阻]]的[[欧姆定律]]。

在日常生活中阻尼的例子随处可见，一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下，用手拨一下[[吉他]]的弦后声音会越来越小，等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。

== 例子：弹簧阻尼器振子 ==
[[File:Mass-Spring-Damper.svg|thumb|300px|弹簧阻尼器振子示意图。图中''B'' 表示阻尼系数（通常用''c'' 表示），''F'' 表示作用在质量块上的外力。在以下的分析中假设''F'' = 0。]]
理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有：
* '''弹性力'''（''k'' 为弹簧的[[劲度系数]]，''x'' 为振子偏离平衡位置的位移）：<math>F_\mathrm{s} = -kx</math>
* '''阻尼力'''（''c'' 为阻尼系数，''v'' 为振子速度）：<math>F_\mathrm{d} = - c v = - c \dot{x} = - c \frac{dx}{dt}</math>

假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用[[牛顿第二定律]]写出系统的振动方程：
:<math>
\sum F = ma = m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^2}
</math>

其中''a'' 为[[加速度]]。
<!--为避免条目过于琐碎，单位问题略去不表--> 

===运动微分方程===
上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移''x'' 关于时间''t'' 函数的二阶常微分方程：
:<math>m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0</math>

将方程改写成下面的形式：
:<math>\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.</math>

然后为求解以上的方程，定义两个新参量：

:<math>\omega_n = \sqrt{ k \over m }</math>
:<math>\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.</math>

上面定义的第一个参量，&omega;<sub>n</sub>，称为系统的（无阻尼状态下的）'''[[共振|固有频率]]'''。
第二个参量，&zeta;，称为'''[[阻尼比]]'''。根据定义，固有频率具有[[角速度]]的[[量纲]]，而阻尼比为[[无量纲]]参量。

微分方程化为：

:<math>
\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2  x = 0.
</math>


===系统行为===
[[File:Damping_types.PNG|275px|right|thumb|欠阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的典型[[位移]]-[[时间]]曲线]]
系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率&omega;<sub>n</sub>和阻尼比&zeta;——所决定。特别地，上小节最后关于<math> \gamma </math>的[[二次方程]]是具有一对互异[[实数]]根、一对重实数根还是一对[[共軛複數]]根，决定了系统的行为。 

====临界阻尼 Critical damping====
当<math>\zeta=1 </math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对重实根，此时系统的阻尼形式称为'''临界阻尼'''。现实生活中，许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转[[弹簧]]的同时，都相应地装有阻尼[[铰链]]，使得门的阻尼接近临界阻尼，这样人们关门或门被风吹动时就不会造成太大的声响。

====过阻尼 Over damping====

当<math>\zeta > 1</math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对互异实根，此时系统的阻尼形式称为'''过阻尼'''。当自动门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时，自动关门需要更长的时间。如記憶枕。

====欠阻尼 Under damping====
当<math> 0 < \zeta< 1</math>时，<math>\gamma \ </math>的解为一对共轭虚根，此时系统的阻尼形式称为'''欠阻尼'''。在欠阻尼的情况下，系统将以圆频率<math> \omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}</math>相对平衡位置作往复振动。

==方程的解==
*对于欠阻尼体系，运动方程的解可写成：
:<math>
x (t)  \  =  \  A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d}  t + \varphi)
</math>

其中 
:<math>
\omega_\mathrm{d} =  \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2  }
</math>

是有阻尼作用下系统的固有频率，''A'' 和&phi; 由系统的初始条件（包括振子的初始位置和初始速度）所决定。该振动解代表的是一种振幅按指数规律衰减的[[简谐振动]]，称为'''[[衰减振动]]'''（见上图中 <math>\varsigma  < 1</math> 的位移-时间曲线所示）。

*对于临界阻尼体系，运动方程的解具有形式
:<math>
x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}
</math>

其中''A'' 和''B'' 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。

*对于过阻尼体系，定义
:<math>\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2  - 1}</math>
则运动微分方程的通解可以写为：
:<math>
x(t) = A e^{ \lambda_1 t} + B e^{ \lambda_2 t}
</math>
其中''A'' 和''B'' 同样取决于初始条件，λ<sub>1</sub>與λ<sub>2</sub>為特徵方程式的兩個相異實根。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出，过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。对于临界阻尼状态，振子可能越过平衡位置至多一次，而过阻尼状态下振子不会越过平衡位置。

==相关条目==
*[[阻尼比]]
*[[共振]]
*[[簡諧運動]]
*[[RLC電路]]
*[[振動]]
*[[有阻尼的弦波]]
*[[等阻尼]]

==相关书籍==
* 倪振华编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1
* R. W. Clough, J. Penzien, ''Dynamics of Structures'', Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津著，王光远等译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）

==外部連結==
* [http://phy.hk/wiki/chinesehtm/Damped.htm 阻尼諧振子 Java 模擬] {{Wayback|url=http://phy.hk/wiki/chinesehtm/Damped.htm |date=20160804003337 }} 阻尼正比於速度或固體接觸面摩擦

==参考文献==
{{reflist}}

{{经典力学}}

[[Category:机械振动学]]
[[Category:无量纲]]
[[Category:常微分方程]]
[[Category:电子学术语]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:振荡]]