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{{noteTA
|1 = zh-hans:量纲; zh-hant:因次;
}}

'''阻力方程'''是[[流體力學]]中計算一[[物體]]在[[流體]]中運動，所受到[[阻力]]的[[方程式]]。

此方程式是由[[瑞利勛爵]]所提出，其方程式如下：
: <math>F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\, C_D\, A</math>

其中
: ''F<sub>D</sub>''為阻力，是施力平行流場方向的分量{{NoteTag|施力垂直流場方向的分量可能有[[升力]]及{{link-en|涡激振动|vortex induced vibration}}.}}.
: ''ρ''為流體密度{{NoteTag|若在[[地球大气层]]中，空氣密度可以用{{link-en|压高公式|barometric formula}}計算. 在0°C，一[[大氣壓]]條件下密度為1.293 kg/m<sup>3</sup>.}}
: ''v'' 是流體相對物體的速度.
: ''A'' 為參考面積.
: ''C<sub>D</sub>'' 為[[阻力係數]]，是一個無因次的係數，像汽車的阻力係數約在0.25到0.45之間.

參考面積A一般定義為物體在運動方向上的[[正交投影]]面積。對於形狀簡單，沒有空洞的物體（例如球），參考面即為[[截面 (幾何)|截面]]。若是其他物體（例如自行車騎士的身體），''A''可能比任何一個截面都要大。[[翼形]]就用[[翼弦]]的平方為參考面積。由於翼弦長常定義為1，因此參考面積也是1。飛機的阻力常和其升力相比較，因此常用機翼面積（或轉子葉片面積）作為其參考面。[[飛艇]]及[[旋轉體]]使用體積阻力係數，其參考面積為其體積立方根的平方。有時一物體為了和其他物體比較阻力係數，會使用不同的參考面積，此時需特別標示所使用的參考面積。

對有尖角的物體，例如長方柱或是垂直流體方向的圓盤，在[[雷諾數]]大於1000時可以將阻力係數視為一定值<ref>[http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Dynamics/Forces/DragForce.html Drag Force] {{webarchive |url = https://web.archive.org/web/20080414225930/http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Dynamics/Forces/DragForce.html |date = 2008-04-14 }}</ref>。但若是圓滑的物體，例如圓柱，阻力係數會隨著雷諾數有明顯的變化，甚至到雷諾數到達10<sup>7</sup>也是如此<ref>See Batchelor (1967), p.&nbsp;341.</ref>。

== 討論 ==
阻力方程是立基在一個假設的理想情形下：所有流體衝撞物體的參考面後停止，因此在整個參考面上產生[[滯止壓強]]。實際的物體不可能完全符合此現象，而阻力係數''C<sub>D</sub>''就是真實物體所受阻力相對於理想情形阻力的比例。一般而言較粗糙。非流線性的物體其''C<sub>D</sub>''接近1。較平滑的物體''C<sub>D</sub>''數值較低。阻力方程提供了阻力係數''C<sub>D</sub>''的定義，此係數會隨雷諾數而變化，實際的數值需要利用實驗來求得。

若不考慮阻力係數的變化，阻力和流體速度的平方成正比，若速度變成原來的二倍，不但衝撞物體的流體速度加倍，單位時間內衝撞物體的流體質量也加倍，因此單位時間內的動量變化（及阻力）都變成原來的四倍。此現象和固體和固體之間的摩擦力不同，速度變化時，摩擦力不會有明顯的改變。

== 推導 == 
阻力方程可以由[[因次分析]]推導而得。假設一運動中的流體碰撞一物體，流體會對物體施力，根據一個複雜（且未完全了解）的定律，可以假設以下變數之間存在某種關係：
* 速度 ''u'', 
* 流體密度 ''ρ'',
* 流體的動黏滯係數 ''ν'' 
* 物體的大小，以其迎风面积''A''表示 
* 阻力 ''F<sub>D</sub>''

利用[[白金漢π定理]]，可以將上述的5個變數簡化為以下的二個變數： 
* 阻力係數 ''C<sub>D</sub>''
* 雷諾數 ''R''<sub>e</sub>

若考慮原來的5個變數，可以得到以下的式子
:<math>
  f_a(F_D,\, u,\, A,\, \rho,\, \nu)\, =\, 0. \,
</math>

上式並未假設阻力和其他變數之間有一對一的函數對應關係。而上式中的''f<sub>a</sub>''是某個未知的，有五個變數的函數。由於方程式的右側是0，和使用的單位系統無關，因此應該可以將''f<sub>a</sub>''用無量綱來表示。

將上述五個變數組合成無量綱的方式有許多種，不過根據白金漢π定理，最後會有二個無量綱。最合適的是雷諾數

:<math>
  R_e\, =\, \frac{u\,\sqrt{A}}{\nu}
</math>

及阻力係數

:<math>
  C_D\, =\, \frac{F_D}{\frac12\, \rho\, A\, u^2}.
</math>

因此上述五個變數的函數可以用另一個只有二個變數的函數來表示：

:<math>
  f_b\left( \frac{F_D}{\frac12\, \rho\, A\, u^2},\, \frac{u\, \sqrt{A}}{\nu} \right)\, =\, 0.
</math>

其中''f<sub>b</sub>''為某個只有二個變數的函數。因此原始的方程式變成只有二個變數的方程式

由於其中唯一的未知數為阻力''F<sub>D</sub>''，其型式可能如下

:<math>
  \frac{F_D}{\frac12\, \rho\, A\, u^2}\, =\, f_c\left( \frac{u\, \sqrt{A}}{\nu} \right)
</math>

或
:<math>
  F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, A\, u^2\, f_c(R_e), \,
</math> &nbsp; &nbsp; 及 &nbsp; &nbsp; <math> C_D\, =\, f_c(R_e).</math>

因此阻力可表示成 ½ ''ρ'' ''A'' ''u<sup>2</sup>'' 乘以某個自變數為雷諾數''R''<sub>e</sub>的未知函數，此型式較原來五個變數的函數要簡單許多。  

透過因次分析將原本複雜的問題（要找出有五個變數的函數）變成一個較簡單的問題：決定阻力和雷諾數之間的函數關係。

因次分析也提供一些額外的資訊，例如在[[其他條件不變]]時，阻力和流體密度成正比，此資訊在進行研究的初期尤其寶貴。若要研究阻力和雷諾數之間的關係，可以不用用大型的物體在高速流體下進行實驗（例如用真實尺寸的飛機進行風洞實驗），只要用較小的物體，在黏滯度更大，速度更快的流體中進行實驗即可，因為這二個系統為{{link-en|相似 (模型)|Similitude (model)|相似}}的。

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|30em}}

=== 来源 ===
{{refbegin}}
; 书籍
* {{ cite book
 | first = G. K.
 | last = Batchelor
 | authorlink = George Batchelor
 | title = An Introduction to Fluid Dynamics
 | year = 1967
 | publisher = Cambridge University Press
 | ISBN = 0521663962
}} 
* {{ cite book
 | last = Huntley | first = H. E.
 | year = 1967
 | title = Dimensional Analysis
 | publisher = Dover
 | id = LOC 67-17978
}}
{{refend}}

== 参见 ==
{{Portal box|物理}}
* [[攻角]]
* [[阻力]]
* {{link-en|莫里森方程|Morison equation}}
* [[失速]]
* [[終端速度]]

[[Category:空气动力学]]
[[Category:流体力学中的方程]]