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{{noteTA
|G1 = Aero
}}

{| class="infobox bordered" style="font-size: 100%; width: auto; text-align: center;" cell
!外形和流場
!形狀<br/>阻力 
!摩擦<br/>阻力
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'''阻力'''（又称'''後曳力'''或'''流體阻力'''）是物體在[[流體]]中相對[[運動]]所產生與運動方向相反的[[力]]。
對於一個在流體中移動的物體，阻力為周圍流體對物體施力，在移動方向的反方向上分量的總和。而施力和移動方向垂直的分量一般則視為[[升力]]。因此阻力和物體移動方向恰好相反，像飛機前進時會產生[[推力]]來克服阻力的影響。

在[[航天动力学]]中，大氣阻力可以視為太空飛行器在發射時的低效率，其影響則是在發射時需要額外的能量，不過在返回軌道時大氣阻力有助於太空飛行器減速，可減少減速額外需要的能量，不過大氣阻力產生的熱量甚至可以將物體熔化。

==分類==
阻力一般可以分為以下幾類：
*[[寄生阻力]]（parasitic drag），包括
**[[形狀阻力]]（form drag）
**[[摩擦阻力]]（skin friction drag）
**[[干扰阻力]]（interference drag）
*[[誘導阻力]]（induced drag）
對於高速（或高[[雷諾數]]）的流場而言，一物體的阻力的特性可以用一個[[無因次]]的[[阻力係數]]來描述，配合阻力係數，可以用[[阻力方程式]]來計算阻力。若阻力係數為一常數，阻力約和相對速度的平方成正比，因此需克服阻力需要的功率則和速度的立方成正比。

== 高速時的阻力 ==
[[File:194144main 022 drag.ogv|thumb|320px|[[NASA]]對阻力的解說]]
阻力方程式可計算物體在較高速（[[雷諾數]]<math>R_e>\sim 1000</math>）流體下的阻力，此阻力也稱為二次阻力或平方阻力。此方程式是由[[約翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵|瑞利勛爵]]所提出，提出時用<math>L^2</math>（<math>L</math>代表某特定長度）代替<math>A</math>，物體所受的流體阻力如下：

:<math>F_D\, =\, \tfrac12\, \rho\, v^2\Complex_d\, A</math>
<!--<sup>[[Drag_equation#Derivation|see derivation]]</sup><sub></sub>-->

其中
:<math> \mathbf{F}_D </math> 為阻力
:<math> \mathbf{} \rho </math> 為流體密度<ref>若在[[地球大气层]]中，空氣密度可以用{{link-en|压高公式|barometric formula}}計算。在0°C，一[[大氣壓]]條件下密度為1.293 kg/m<sup>3</sup></ref>
:<math> \mathbf{} v </math> 為流體相對於物體的[[速度]]
:<math> \mathbf{} C_d </math> 為阻力係數，為一無因次的參數，像汽車的阻力係數約為0.25至0.45
:<math> \mathbf{} A </math> 為參考[[面積]]

參考面積<math>A</math>一般定義為物體在運動方向上的[[正交投影]]面積。對於形狀簡單的物體（例如球），參考面即為[[截面 (幾何)|截面]]。有時會使用其他的參考面積來定義一物體的阻力係數，此時需特別標明使用的參考面。

以機翼而言，若阻力及升力使用的參考面積相同，阻力及升力的比值（[[升阻比]]）即為阻力係數及[[升力係數]]的比值，在比較阻力及升力的大小時最為方便<ref>[http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/sized.html ''Size effects on drag''] {{Wayback|url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/sized.html |date=20161109102323 }}, from NASA Glenn Research Center.</ref>。因此機翼阻力係數的參考面積一般會是機翼的翼面積（即機翼沿垂直方向的投影面積），而不是沿飛行方向的投影面積<ref>[http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/geom.html ''Wing geometry definitions''] {{Wayback|url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/geom.html |date=20110307125108 }}, from NASA Glenn Research Center.</ref>。

若物體有光滑的表面，在流場中沒有固定的[[分离点]]（例如球或圓柱），其阻力係數會隨著雷諾數<math>R_e</math>而變化，甚至在雷諾數很高（其[[量級]]到10<sup>7</sup>）時也是如此<ref>{{cite journal | last=Roshko | first=Anatol | title=Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number | journal=Journal of Fluid Mechanics | volume=10 | issue=3 | year=1961 | pages=345–356 | doi=10.1017/S0022112061000950|bibcode = 1961JFM....10..345R }}</ref><ref name=Batch341>Batchelor (1967), p. 341.</ref>。若物體有在流場中有固定的分离点（例如一法向量和流場方向平行的圓盤），在雷諾數<math>R_e>3500</math>時，阻力係數不隨雷諾數而變化<ref name=Batch341/>。若物體不是球對稱，阻力係數也是流場和物體本身對稱軸夾角的函數。

===自由落體的速度===
{{main|終端速度}}
一物體在在時間<math>t=0</math>時的初速<math>v=0</math>，在非濃稠的介質落下（因此不考慮介質的浮力），其速度可以用以下的[[双曲函数]]表示：

::<math> v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right). \,</math>

在<math>t</math>很大時，雙曲正切函數<math>\tanh</math>其[[函數極限]]值為1，因此上述的速度有一[[渐近线|漸近值]]，稱為[[終端速度]]<math>v_t</math>：

::<math>v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} }. \,</math>

對於形狀接近球形、平均半徑為<math>d</math>、密度為<math>\rho_{obj}</math>的物體，終端速度約為

::<math>v_{t} = \sqrt{ gd \frac{ \rho_{obj} }{\rho} }. \,</math>

若物體的密度接近水（如雨滴、冰雹、鳥、昆蟲等）差不多，在接近海平面的地表落下，終端速度約為

::<math>v_{t} = 90 \sqrt{ d }, \,</math>

其中
:<math>d</math> 的直徑，單位是公尺
:''<math>v_t</math>''為速度，單位為m/s。

例如人體（<math> \mathbf{} d </math> ~ 0.6 m）其<math> \mathbf{} v_t </math> 約為 70 m/s，體型接近貓的動物（<math> \mathbf{} d </math> ~ 0.2 m）其<math> \mathbf{} v_t </math> 約為 40 m/s，小鳥（<math> \mathbf{} d </math> ~ 0.05 m）其<math> \mathbf{} v_t </math> ~ 20 m/s約為 40 m/s，而昆蟲（<math> \mathbf{} d </math> ~ 0.01 m）其<math> \mathbf{} v_t </math> ~ 9 m/s。

非常小的物體（例如花粉）在低雷諾數流體中的終端速度可以用[[斯托克斯定律]]來描述。

較大的生物其終端速度較高，因此從高處落下時致命的可能性也較高。例如老鼠和人分別以各自的終端速度墜落時，老鼠其存活的可能性會比人高很多。若[[蚱蜢]]以其終端速度墜落時，可能甚至不會受傷。生物大小和其終端速度的關係，以及其肢體截面積和身體質量間的比例關係（一般稱為{{link-en|平方立方定律|Square-cube law}}）可用來說明為何有些小動物從高處落下時不會受傷<ref>Haldane, J.B.S., [http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html "On Being the Right Size"] {{Wayback|url=http://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.html |date=20110822151104 }}</ref>。

==雷諾數很低時的阻力==
[[File:Inclinedthrow.gif|thumb|400px|三個由相同角度（70°）射出物體的軌跡。黑色物體未受到任何阻力，其軌跡為拋物線，藍色物體受到[[斯托克斯定律|斯托克斯阻力]]，而綠色物體受到[[牛頓流體|牛頓阻力]]。]]

{{main|斯托克斯定律}}
當物體在雷諾數很低，沒有紊流（雷諾數<math>R_e < 1</math>）的流體中<ref>[http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Dynamics/Forces/DragForce.html Drag Force] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080414225930/http://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Dynamics/Forces/DragForce.html |date=2008-04-14 }}</ref>移動時，其受到的阻力稱為黏滯阻力、線性阻力。<!--Note that purely laminar flow only exists up to Re = 0.1 under this definition.-->此情形下，阻力大約和速度成正比，但和速度方向相反。黏滯阻力的方程式如下：<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/airfri.html Air friction] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/airfri.html |date=20110925110241 }}, from Department of Physics and Astronomy, Georgia State University</ref>

::<math>\mathbf{F}_d = - b \mathbf{v} \,</math>

其中：
:<math>\mathbf{} b </math> 為一常數，和流體特性及物體尺寸有關
:<math> \mathbf{v} </math> 為物體和流體的相對速度

若一物體由靜止狀態落下，其速度為

::<math>v(t) = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}\left(1-e^{- \frac{bt}{m}}\right)</math>

其速度會趨近終端速度<math> \mathbf{} v_t = \frac{(\rho-\rho_0)Vg}{b}</math>。若<math>\mathbf{} b </math>為定值，較重的物體會較快落下。

對於小的球形物體緩慢的通過黏性流體（因此雷諾數很小）的情形，[[喬治·斯托克斯|斯托克斯]]推導其阻力常數如下

::<math>b = 6 \pi \eta r\,</math>

其中
:<math>\mathbf{} r </math>為物體的[[当量球径]]
:<math>\mathbf{} \eta </math>為流體的[[黏滯係數]]

例如，考慮一半徑 <math>\mathbf{} r= </math>0.5 微米（直徑=1.0&nbsp;µm）的球形物體以10&nbsp;µm/s的速度通過水中。依上式可得其阻力為0.09 pN，這也就是細菌游過水中所受到的阻力。

==空氣動力學中的阻力==
飞行中飞机所受到的空气阻力。分成四大类。分別是摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力及诱导阻力。

其中摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力与速度的平方成正比，诱导阻力则与速度的平方成反比。飞行阻力是这四种阻力的合成。

===誘導阻力===
[[File:Induced drag r.svg|thumb|right|150px|誘導阻力和升力的關係]]
{{main|誘導阻力}}
誘導阻力（或稱感應阻力）是指飛行體在產生[[升力]]時，一併衍生的阻力。誘導阻力包括二個主要組成成分，一個是因為渦流而產生的阻力（渦流阻力），另一個則是額外產生的黏滯阻力。在飛行體通過空氣時，其上表面及下表面的氣流壓強不同，但在飛行體尾端，上方及下方不同壓強的氣流會混合，產生紊流及渦流<ref>{{cite book
|author = 管德 
|title= 坐飞机去 
|year= 2000 
|publisher=清华大学出版社 
|location=北京 
|isbn=7810299379
|pages=72
|url=http://books.google.com/books?id=i6hfE4kr1w0C&printsec=frontcover&dq=%E5%9D%90%E9%A3%9E%E6%9C%BA%E5%8E%BB&hl=zh-TW&ei=ZtFwTqqDM-bymAWzrPCZCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CDUQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false }}</ref>。

在其他參數不變的條件下，當飛行體產生的升力增加時，其誘導阻力也隨之增加。對飛行中的飛機而言，這表示在飛機[[失速]]前，當其[[攻角]]及[[升力係數]]增加時，其誘導阻力也隨之增加。當失速時，升力及誘導阻力都突然下降，而此時飛行體表面形成獨立的[[紊流]]，造成寄生阻力中的黏滯壓差阻力上昇

===寄生阻力===
{{main|寄生阻力}}

寄生阻力是一物體在一不可壓縮流體中移動所受到的阻力。寄生阻力中包括由秥滯力產生壓強差的阻力（形狀阻力）以及因表面粗糙度產生的阻力（表面摩擦阻力）。若物體附近有其他相鄰近的物體，會產生干擾阻力，有時也會視為寄生阻力的一部份。

在低速飛行時，由於維持升力需要的功率較大，飛機的攻角較大，其產生的誘導阻力也較大。不過當速度提高時誘導阻力隨之下降，而流體相對物體的速度提高，因此寄生阻力會變大。若速度已到達[[穿音速]]，波動阻力也隨之出現。其中速度提高時，誘導阻力下降，其他阻力卻隨之上昇，因此總阻力會在某一速度時出現最小值，若飛機以此速度航行，其效率會等於或接近其最佳效率。飛行員會以此速度來使[[續航力]]最大化（使油耗最小化），或是在引撃故障時可以使[[升阻比|滑翔距離]]最大化。

===飛行時的功率曲线===
[[File:Drag curves for aircraft in flight.svg|right|thumb|200px|功率曲线：寄生阻力及誘導阻力和速度之間的關係]]

可以將寄生阻力及誘導阻力相對速度的特性曲線繪製在同一圖上，此圖在航空學中稱為功率曲线。功率曲线可以讓飛行員了解不同速度下，飛機飛行所需要輸出的功率，是非常重要的曲線。

功率曲线中寄生阻力及誘導阻力有一交點，交點處的阻力總和最小。交點的右側為正常控制区，當速度越高時，維持定速需要的推力越大。交點的左側為反向控制区，此區域的功率特性恰好與一般直覺的認知相反：當速度越低時，維持定速需要的推力越大。夂當速度越高時，維持定速需要的推力越大。若飛機的速度低於此交點對應的速度，會出現一個不符合人類直覺的特性：當速度越低時，維持定速需要的推力越大。

===跨音速及超音速的波動阻力===
[[File:Qualitive variation of cd with mach number.png|thumb|right|阻力係數與音速的關係示意圖]]

波動阻力（壓縮性阻力）是指一高速物體通過可壓縮流體時所出現的阻力。在空氣動力學中，依飛行速度的不同，波動阻力也可分為幾種不同的組成成份。

在跨音速飛行（馬赫數介於0.8及1.4之間）時，波動阻力是飛行體形成[[激波]]後的結果。一般會出現在出現局部超音速流（局部流體馬赫數大於1.0）的區域。實務上，當飛行體較音速低很多，但加速時部份區域的空氣速度超過音速，就會出現局部超音速流。因此飛機附近的氣流既有超音速流，也有低於音速的亞音速。飛機在跨音速飛行的正常運作過程中常會產生波動阻力，這種波動阻力常稱為跨音速壓縮性阻力。當馬赫數接近1時，跨音速壓縮性阻力會顯著的上昇，遠大於同速度下的其他阻力。

在超音速飛行（馬赫數大於1.0）時，會在飛行體的[[前緣]]及[[後緣]]出現[[斜激波]]。若速度非常高，或是飛行體轉彎角度夠大時，則會出現舷波（bow wave）。<!--Additionally, local areas of transonic flow behind the initial shockwave may occur at lower supersonic speeds, and can lead to the development of additional, smaller shockwaves present on the surfaces of other lifting bodies, similar to those found in transonic flows. -->在超音速飛行時，阻力一般可以分為二個成份：超音速升力相關的波動阻力，及超音速體積相關的波動阻力。

{{link-en|布斯曼雙翼機|Busemann's Biplane}}是一種特殊型式的飛行體，當依其設計速度航行時，完全不產生波動阻力，不過它本身無法產生升力。

==達朗伯特悖論==
<!--{{main|d'Alembert's paradox}}
-->
[[位流]]理論是18世紀最能解釋[[非黏性流]]的理論。但1752年時法國物理學家[[让·勒朗·达朗贝尔|達朗伯特]]依位流理論，推導到位流下其阻力為零的結果，此結果和實測結果矛盾，因此稱為[[達朗伯特悖論]]。

19世紀時科學家[[圣维南]]、[[克劳德-路易·纳维|納維]]、[[斯托克斯]]開始用[[納維－斯托克斯方程]]來分析黏性流。斯托克斯推導了一球形物體在雷諾數很低的流體中的阻力，其結果即為[[斯托克斯定律]]<ref name=Batchelor>Batchelor (2000), pp. 337–343.</ref>。

納維－斯托克斯方程在高雷諾數時會趨近非黏性流的[[欧拉方程 (流体动力学)|歐拉方程式]]，此時可以用位流理論進行分析，得到阻力為零的結果，但所有在高雷諾數下進行的實驗，均證實阻力的存在，和位流所得的結果矛盾。科學家也試著找出除了位流以外，欧拉方程在非黏性定常流的解，不過沒有什麼進展<ref name=Batchelor/>。

1904年德國科學家[[路德维希·普朗特|普朗特]]依理論及實驗的結果，提出了[[邊界層]]的概念，也說明了高雷諾數流體為何會產生阻力<!--邊界層是流體在靠近物體邊界的一個薄層，此時The boundary layer is the thin layer of fluid close to the object's boundary, where viscous effects remain important when the viscosity becomes very small (or equivalently the Reynolds number becomes very large).--><ref name=Batchelor/>。

==相關==
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[降落傘]]
* [[流體力學]]
* [[附加質量]]
* [[空氣動力]]
* [[攻角]]
* [[邊界層]]
* [[康達效應]]
* [[阻力危機]]
* [[阻力係數]]
* [[阻力方程]]
* [[Kc數]]
* {{link-en|莫里森方程|Morison equation}}
* [[寄生阻力]]
* [[衝壓力]]
* [[雷諾數]]
* [[失速]]
* [[斯托克斯定律]]
* [[終端速度]]
</div>

==腳註==
{{reflist}}

==參考資料==
*{{cite book | author=French, A. P. | title=Newtonian Mechanics (The M.I.T. Introductory Physics Series) | edition=1st | publisher=W. W. Norton & Company Inc., New York | year=1970 | isbn=0393099709}}
*{{cite book | author=Serway, Raymond A.; Jewett, John W. | title=Physics for Scientists and Engineers | edition=6th | publisher=Brooks/Cole | year=2004 | isbn=0-534-40842-7}}
*{{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics| url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl | edition=5th | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | isbn=0-7167-0809-4}}
*{{cite book
 | last = Huntley | first = H. E.
 | year = 1967
 | title = Dimensional Analysis
 | publisher = Dover
 | id = LOC 67-17978
 }}
*{{cite book
 | author=Batchelor, George
 | title=An introduction to fluid dynamics
 | publisher=Cambridge University Press
 | edition=2nd
 | series=Cambridge Mathematical Library
 | isbn=978-0-521-66396-0
 | id={{MathSciNet | id = 1744638}}
 | year=2000
 }}

== 外部連結 ==
*[http://arxiv.org/abs/physics/0609156 Educational materials on air resistance] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/physics/0609156 |date=20160106032902 }}
*[http://craig.backfire.ca/pages/autos/drag Aerodynamic Drag] {{Wayback|url=http://craig.backfire.ca/pages/autos/drag |date=20070812225237 }} and its effect on the acceleration and top speed of a vehicle.
*[http://www.apexgarage.com/tech/horsepower_calc.shtml Vehicle Aerodynamic Drag calculator] {{Wayback|url=http://www.apexgarage.com/tech/horsepower_calc.shtml |date=20110912170145 }} based on drag coefficient, frontal area and speed.

{{Authority control}}

[[Category:阻力| ]]
[[Category:包含视频剪辑的条目]]
[[Category:力]]