查看“︁阶跃函数”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2021-05-25T07:37:49+00:00}}
在[[数学]]中，如果[[实数]]域上的某个函数可以用[[區間|半开区间]]上的[[指示函数]]的有限次[[线性组合]]来表示，那么这个函数就是'''阶跃函数'''。换一种不太正式的说法就是，阶跃函数是有限段分段常数函数的组合。

[[File:StepFunctionExample.png|thumb|right|250px|n=4 的阶跃函数]]

假设已知：

* 一个系数[[序列]]
:<math>\{\alpha_0, \dots, \alpha_n\}\subset \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}  \setminus \{0\}</math> 
* 区间边界 
:<math>\{x_1 < \dots < x_{n}\} \subset \mathbb{R}</math>

* 区间序列
:<math>A_0 := (-\infty, x_1)</math>
:<math>A_i := [x_i, x_{i+1})</math>（对于<math>i=1,\cdots,n-1</math>）
:<math>A_n := [x_{n},\infty)</math>
（尽管这个例子中的区间下边界包含在内，而上边界不包含在内，但是这并不是定义所要求的。只要区间 A<sub>n</sub> 互不相交，并且它们的组合是实数就可以了。）




'''定义：''' 函数 <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> 是 '''阶跃函数'''的条件是[[当且仅当]]它可以表示为 

对于所有<math> x \in \mathbb{R}</math> 有
<math>f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \cdot 1_{A_i}(x)
</math> 
其中 <math>1_A</math> 是 <math>A</math> 的[[指示函数]]：
:<math>1_A(x) =
\left\{
  \begin{matrix}
    1, & \mathrm{if} \; x \in A \\ 
    0, & \mathrm{otherwise} 
  \end{matrix}
\right.
</math> 

'''注意：''' 对于所有的 <math>i=0,\cdots,n</math> 及 <math>x \in A_i</math> 满足：
<math>f(x)=\alpha_i.</math>

==特殊阶跃函数==
[[单位阶跃函数]]是 ''n''=1、&alpha;<sub>0</sub>=0、&alpha;<sub>1</sub>=1 以及 ''x''<sub>1</sub>=0 时的阶跃函数特例，或者叫[[奥利弗·赫维赛德|赫维赛德]]函数。 <!-- <math>n=1</math>, <math>\alpha_0=0</math>, <math>\alpha_1=1</math>, and <math>x_1=0</math>.-->

==参见==
*[[简单函数]]
*[[分段函数]]

[[Category:基本特殊函数]]