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在[[数学]]中，'''闵可夫斯基不等式'''（{{lang|de|Minkowski}} inequality）表明[[Lp空间|L<sup>p</sup>空间]]是一个[[赋范向量空间]]。设 <math>S</math> 是一个[[测度空间]]，<math>1 \le p\le \infty , f ,g \in L^p(S)</math>，那么 <math>f + g \in L^p(S)</math>，我们有：

:<math>\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p</math>

如果 <math>1 < p< \infty</math>，[[等号]]成立[[当且仅当]] <math>\exists k\geq 0,f = kg</math>，或者 <math>g = kf</math> .

闵可夫斯基不等式是 <math>L^p(S)</math> 中的[[三角不等式]]。它可以用[[赫尔德不等式]]来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取[[可数测度]]可以写成[[序列]]或[[向量]]的特殊形式：

:<math>\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{\frac{1}{p}}</math>

将所有[[实数]] <math>x_1,\cdots , x_n, y_1\,,\ \cdots, y_n</math>（<math>n</math> 为 <math>S</math> 的[[维数]]）改成[[复数 (数学)|复数]]同样成立。

值得指出的是，如果 <math>x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n > 0</math>，<math>p < 1</math>，则 <math>\le</math> 可以变为 <math>\ge</math> .

==积分形式的证明==

我们考虑 <math>\|f+g\|_p</math> 的 <math>p</math> 次幂：

<math>\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}\cdot p}=\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx</math>

（用三角形不等式展开 <math>|f(x)+g(x)|</math>）

<math>\leq\int_{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int_{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx</math>

（用[[赫尔德不等式]]）
	
<math>\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}+ \left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}</math>

<math>=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac{1}{q}}</math>

（利用 <math>p=qp-q</math>，因为<math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math>）

<math>=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac1q}</math>

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得

<math>\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq
\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}</math>

这正是我们所要的结论。

对于序列的情形，证明是完全类似的。

== 参阅 ==
* [[马勒不等式]]

==参考文献== 
*{{Cite journal| issn = 1672-6634| issue = 03| pages = 19–22| last1 = 邢家省| last2 = 王树泽| title = Young不等式在L~p空间中的应用| journal = 聊城大学学报(自然科学版)| accessdate = 2022-03-04| date = 2007| url = https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFD2007&filename=TALK200703008| archive-date = 2022-03-04| archive-url = https://web.archive.org/web/20220304065951/https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFD2007&filename=TALK200703008| dead-url = no}}
*{{Cite journal| doi = 10.13537/j.issn.1004-3918.2004.01.006| issn = 1004-3918| issue = 01| pages = 23–29| last = 张愿章| title = Young不等式的证明及应用| journal = 河南科学| accessdate = 2022-03-04| date = 2004| url = https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFD2004&filename=HNKX200401006| archive-date = 2022-03-04| archive-url = https://web.archive.org/web/20220304065726/https://kns.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?dbcode=CJFD&dbname=CJFD2004&filename=HNKX200401006| dead-url = no}}
*{{cite book|title=常用不等式 |author=匡继昌 |publisher=山东科技出版社 |year = 2004年 |isbn= 7-5331-3618-7|accessdate = 2009-10-27 }}
*{{cite book|title=《不等式》 |author=（英）哈代（G.H.Hardy），（英）利特尔伍德（J.E.Littlewood），（美）波利亚（G.Polya）著；越民义 译 |pages=第二章 第十七节 |publisher=人民邮电出版社 |year = 2008 |isbn= 978-7-115-18802-1|accessdate = 2009-10-27 }}

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