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[[File:red_blue_circle.svg|thumb|满足<math>x^2+y^2=r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着蓝色。满足<math>x^2+y^2<r^2</math>的点<math>(x, y)</math>着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。]]
在[[拓扑空间]]中，'''闭集'''是指其[[补集]]为[[开集]]的集合。在一个[[拓扑空间]]内，闭集可以定义为一个包含所有其[[极限点]]的集合。在[[完备度量空间]]中，一个闭集的[[极限 (数学)|极限]]运算是[[闭包 (数学)|闭合]]的。不要混淆于[[闭流形]]。

==闭集等价的定义==
在一個任意的拓扑空间<math>(X,\mathcal{T})</math>内，一个集合<math>C</math>是闭集当且仅当它与它的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]<math>\bar{C}</math>相同。等价地，一个集合<math>C</math>是闭集当且仅当所有的[[极限点]]都是这个集合中的点；也就是，<math>C'\subseteq C</math>。

== 性质 ==

闭集包含其自身的[[边界 (拓扑学)|边界]]。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的[[外部]]，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的[[交集]]是闭集；[[有限]]多个闭集的[[并集]]是闭集。特别的，[[空集]]和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间<math>X</math>上的集合<math>A</math>的[[闭包]]，即<math>X</math>的闭合子集中最小的<math>A</math>的[[父集]]。特别的，<math>A</math>的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

== 例子 ==

* [[区间]]<math>[a,b]</math>在[[实数]]上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见[[区间]]文中的解释。）
* [[单位区间]]<math>[0,1]</math>在实数<math>\mathbb{R}</math>的度量空间中是闭集。而集合<math>[0,1]\cap \mathbb{Q}</math>在[[有理数]]<math>\mathbb{Q}</math>上是闭集，但在实数<math>\mathbb{R}</math>上并不是闭集。
* 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数<math>\mathbb{R}</math>上的半开[[区间]]<math>[0,1)</math>。
* 有些集合既是开集也是闭集叫做[[闭开集]]，最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
* 半区间<math>[1,\infty)</math>在實數<math>\mathbb{R}</math>上是闭集。
* [[康托尔集]]是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。
* 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在[[豪斯多夫空间]]内是闭集。
* 如果<math>X</math>和''<math>Y</math>''是拓扑空间，而<math>f</math>是一個從''<math>X</math>''到''<math>Y</math>''的連續函數當且僅當''<math>Y</math>''中任意的閉集<math>C</math>的[[原像]]<math>f^{-1}(C)</math>在''<math>X</math>''中也是闭集。

== 细说 ==

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在[[拓扑空间]]上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如[[度量空间]]、[[流形|可微流形]]、[[一致空间]]和[[规格空间]]。

另一种对闭集的定义是通过[[序列]]。拓扑空间<math>X</math>上的子集<math>A</math>是'''闭合的'''，当且仅当<math>A</math>的元素组成的任意序列的任意[[极限 (数学)|极限]]仍然属于<math>A</math>。这一表述的价值在于，它可以用在[[收敛空间]]的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间<math>X</math>，因为序列是否在<math>X</math>中收敛依赖于<math>X</math>中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，[[紧致]]的[[豪斯多夫空间]]是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间<math>K</math>放在任意豪斯多夫空间<math>X</math>中，<math>K</math>总是<math>X</math>的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

== 参见 ==
* [[开集]]
* [[闭开集]]
* [[闭包]]

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|B]]