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在[[数学]]，特别是[[向量分析]]与[[微分拓扑]]中，一个'''闭形式''' <math> \alpha </math> 是[[微分]]算子 <math> d </math> 的[[核 (线性算子)|核]]，即 <math> d\alpha = 0 </math>的[[微分形式]]；而'''恰当形式'''(恰当微分形式) <math> \alpha </math> 是微分算子 <math> d </math> 的[[像]]，即存在某个微分形式 <math> \beta</math> 使得 <math> \alpha = d\beta </math>，<math> \beta</math> 称为关于 <math> \alpha </math> 的一个“本原”。

因为 <math> d^2=0</math>，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测[[代数拓扑|拓扑]]信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 <math> d </math> 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是[[零函数]]。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互'''上同调的'''。这便是说，如果 <math> \zeta </math> 与 <math> \eta </math> 是闭形式，且存在某个 <math> \beta </math> 使得

:<math>\zeta - \eta = d\beta\ ,</math>

则我们说 <math> \zeta </math> 与 <math> \eta </math> 是互相上同调的。恰当形式经常称为'''上同调于零'''。相互上同调的形式的集合组成了一个[[德拉姆上同调]]类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为[[上同调|上同调理论]]。

<math> \mathbb{R}^2 </math> 与 <math> \mathbb{R}^2 </math> 上的微分形式已经为十九世纪的数学[[物理]]所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元  <math> dx\wedge dy </math>，故只有 1-形式

:<math> \alpha = f(x,y)dx + g(x,y)dy\ ,</math>

具有真正的意义，其[[外导数]] <math> d </math> 是

:<math> d \alpha = (g_x - f_y)dx\wedge dy\ ,</math>

这里下标表示[[偏导数]]。从而 ''<math> \alpha </math>''“闭”的条件是

:<math> f_y=g_x\ .</math>

当 <math> h(x, y)</math> 是一个函数时则

:<math> dh = h_x dx + h_y dy\ .</math>

“恰当形式是闭形式”便是关于 ''x'' 与 ''y'' [[二阶导数的对称性]]的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在<math> \mathbb{R}^2 </math>上，恰当 1-形式相当于有势场（[[保守场]]），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用[[向量分析]]的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

==庞加莱引理==
'''庞加莱引理'''断言：如果 <math> X </math> 是 <math> \mathbb{R}^n </math> 中[[可缩空间|可缩]]开子集，对任何整数 <math> p>0 </math>，任何定义在 <math> X </math> 上的光滑闭 <math> p </math>-形式 <math> \alpha </math> 是恰当的（这只在 <math> p\le n </math> 有内容）。

可缩意味着存在[[同伦|同伦映射]] <math> F_t:X\times[0,1] \rightarrow X </math> 将 <math> X </math> 形变为一点。从而任何 <math> X </math> 中的闭链 <math> c </math> 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 <math> X </math> 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将 <math> X </math> 与柱 <math> X\times[0,1] </math> 联系起来，分别通过映射 <math> j_1(x)=(x,1) </math>与<math> j_0(x)=(x,0) </math>与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导[[拉回 (微分几何)|拉回]]映射 <math> j_1^* </math>与 <math> j_0^* </math> 由[[链同伦|上链同伦]]联系：

:<math>K d + d K = j_1^* - j_0 ^*\ .</math>

令 <math> \Omega^p(x) </math>表示 <math> X </math> 上的 <math> p </math>-形式，映射<math> K:\Omega^{p+1}\left(X\times[0,1]\right)\rightarrow\Omega^p(X) </math>是柱映射的对偶，定义为：

:<math>a(x,t) d x^{p+1} \mapsto 0, \; a(x,t) dt dx^p  \mapsto (\int_0 ^1 a(x,t) dt) dx^p,</math> 

这里 <math> dx^p </math> 是一个不含 <math> dt </math> 的单项 <math> p </math>-形式。所以如果<math> F </math>是<math> X </math>到一点<math> Q </math>的同伦形变，那么

:<math>F \circ j_1 = id, \; F \circ j_0 = Q\ .</math>

在形式上：

:<math>j_1 ^* \circ F^* = id, \; j_0^* \circ F^* = 0\ .</math>

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是[[德拉姆上同调]]是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是[[德拉姆定理]]。

不可缩空间不一定有[[平凡 (数学)|平凡]]的德拉姆上同调。例如，在<math> t\in[0,1] </math>参数化圆周<math> S^1 </math>上，闭 1-形式<math> dt </math>不是恰当的（'''注意'''：<math> t </math>不能定义为整个 <math> S^1 </math>上的函数，但<math> dt </math>是一个[[良定]]的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但<math> dt </math>在圆周上积分是<math> 2\pi </math>。

==参考文献==
*{{Citation
 | last =Bott
 | first =Raoul
 | last2 =Tu
 | first2 =Loring W.
 | year =1999
 | title =Diifferential Forms in Algebraic Topology
 | publisher =Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.)
 | isbn =7-5062-0112-7
}}
*{{Citation
 | last =陈维桓
 | year =2001年
 | title =微分流形初步
 | publisher =高等教育出版社
 | edition=2
 | isbn =7-04-009921-7
}}

[[Category:微分形式|B]]
[[Category:引理|B]]