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在[[拓扑学]]中，'''闭开集'''（{{lang-en|Clopen set}}）是[[拓扑空间]]中既是[[开集]]又是[[闭集]]的集合。雖然既「開」又「閉」的定義有些反直覺，但數學上開集與閉集的定義並不[[互斥]]。

如同拓撲學家[[詹姆士·雷蒙·芒克勒斯]]在他的書中所描述的，[[集合_(數學)|集合]]和[[門_(建築物)|門]]不同的是，「集合可以是打開的(open)，也可以是闔上的(closed)，或者既打開又闔上，又或是既不打開又不闔上！」<ref> {{Cite book | author = James R. Munkres | title = Topology (second edition) | location = United States of America | publisher = Pearson | date = 2017-03-10 | pages = 93| ISBN = 9780134689517 | language = en}} </ref>強調現實中門的開閉與集合的開閉定義無關。



== 例子 ==

*對任何拓扑空间<math>X</math>，[[空集]]和整个空间<math>X</math>都是闭开集，有時稱它們為[[平凡_(數學)|平凡]]閉開集。
*存在非平凡閉開集。例如，[[離散空間]]的任意子集都是閉開集。
*考虑由两个[[区间]]<math>[0,1]</math>和<math>[2,3]</math>的并集构成的空间<math>X</math>。在<math>X</math>上的拓扑是从[[实直线]]<math>\mathbb{R}</math>上的正常拓扑继承来的[[子空间拓扑]]。在<math>X</math>中，集合<math>[0,1]</math>和<math>[2,3]</math>都是闭开集。这是非常典型的例子：只要空间是由有限数目个不相交[[连通单元]]以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
*不太常见的例子，考虑所有有理数的空间<math>\mathbb{Q}</math>带有它们的正常拓扑，和平方大于2的所有正有理数的集合<math>A</math>。利用<math>\sqrt{2}</math>不在<math>\mathbb{Q}</math>中的事实，可以非常容易的证明<math>A</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的闭开子集。（还要注意<math>A</math>不是实直线<math>\mathbb{R}</math>的闭开子集；它在<math>\mathbb{R}</math>中既不是开集也不是闭集。）

==性质==
* 拓扑空间<math>X</math>[[连通空间|连通]]当且仅当<math>X</math>中僅有的闭开集是空集和<math>X</math>本身。
* 集合是闭开集，当且仅当它的[[边界 (拓扑学)|边界]]是空的。
* 任何闭开集是（可以无限多）[[连通单元]]的[[并集]]，它的[[逆命題]]不成立，因為連通單元一般不是開集。
* 如果<math>X</math>的所有连通单元是开集（例如，如果<math>X</math>只有有限多个单元，或者<math>X</math>是[[局部连通]]的），则集合是<math>X</math>中的闭开集，当且仅当它可以表示為连通单元的并集。
* 拓扑空间<math>X</math>是[[离散空间|离散]]的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
* 使用[[并集]]和[[交集]]作为运算，给定拓扑空间<math>X</math>的闭开子集形成一个[[布尔代数]]。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得：参见[[Stone布尔代数表示定理]]。

==参见==
*[[开集]]
*[[闭集]]
*[[門空間]]
==註解==
{{reflist}}

==參考文獻==
* James R. Munkres


{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学|B]]