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'''闭值域定理'''是[[数学]]中的[[巴拿赫空间]]理论中的一个定理，给出了[[闭合线性算子|闭合]][[稠定线性算子]]（{{le|Closed graph property|Closed graph property|closed}}{{le|Densely defined operator}}）的值域为[[闭集]]的充要条件。这一定理由[[斯特凡·巴拿赫]]于1932年在《线性算子理论》（''Théorie des opérations linéaires''）一文中给出了证明。

设''X''与''Y''为巴拿赫空间，若''T''&nbsp;:&nbsp;''D''(''X'')&nbsp;→&nbsp;''Y''是一个闭合的线性算子，它的定义域''D''(''X'')在''X''中稠密，而<math>\scriptstyle{T'}</math>是它的[[无界算子|转置算子]]。则定理指出，如下四个结论等价：

* <math>\scriptstyle{T}</math>的值域（[[像]]）<math>\scriptstyle{\operatorname{Im}(T)}</math>是<math>\scriptstyle{Y}</math>中的闭集。
* <math>\scriptstyle{T'}</math>的值域<math>\scriptstyle{\operatorname{Im}(T')}</math>是<math>\scriptstyle{X}</math>的[[对偶空间]]<math>\scriptstyle{X'}</math>中的闭集。
* <math>\operatorname{Im}(T) = \operatorname{Ker}(T')^\perp=\{y\in Y | \langle x^*,y\rangle = 0\quad \forall \quad x^*\in \operatorname{Ker}(T')\}</math>
* <math>\operatorname{Im}(T') = \operatorname{Ker}(T)^\perp=\{x^*\in X' | \langle x^*,y\rangle = 0\quad \forall \quad y\in \operatorname{Ker}(T)\}.</math>

此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当[[算子]]的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个[[稠定线性算子]]''T''使得Im(''T'')&nbsp;=&nbsp;''Y''。相似地，当且仅当''T''存在连续的逆算子时，<math>\scriptstyle{\operatorname{Im}(T') = X'}</math>。

== 另见 ==
* [[线性代数基本定理]]

== 参考来源 ==
*{{Citation | last1=Yosida | first1=K. | title=Functional Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin，New York | edition=6th | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)，vol. 123 | year=1980}}.
{{泛函分析}}
[[Category:泛函分析定理]]


{{数学分析小条目}}