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在数学中，特别是在拓扑学领域，如果每个子集都是开放的或封闭的（或两者兼而有之），则拓扑空间被称为门空间。该术语来自介绍性拓扑助记符，即“子集不像一扇门：它可以是打开的、关闭的、两者兼而有之，或者两者都不是”。

== 属性和示例 ==
每个门空间都是[[柯爾莫果洛夫空間|T <sub>0</sub>]] （因为如果<math>x</math>和<math>y</math>是两个[[拓扑不可区分性|拓扑上不可区分的]]点，单点<math>\{x\}</math>既不开放也不封闭。

门空间的每个[[相對化拓撲|子空间]]都是门空间。 <ref>{{Cite journal |last=Dontchev |first=Julian |date=1995 |title=On door spaces |url=https://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a1b_873.pdf |journal=Indian Journal of Pure and Applied Mathematics |volume=26 |issue=9 |page=873–881 |access-date=2024-04-04 |archive-date=2024-04-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240405164023/https://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a1b_873.pdf |dead-url=no }} Theorem 2.6</ref>门空间的每个[[商空间|商]]也是如此。 {{Sfn|Dontchev|1995|loc=Corollary 2.12}}

集合上每个[[拓撲比較|比门拓扑更精细的]]拓扑<math>X</math>也是一种门拓扑结构。

每一个[[离散空间]]都是一个门空间。这是无[[极限点|聚点]]的空间，即其每个点都是[[孤点|孤立点]]。

每个空间 '''𝑋''' 恰好有一个累积点（并且所有其他点都是孤立的）是一个门空间（因为仅由孤立点组成的子集是开放的，而包含累积点的子集是闭合的）。一些例子是：（1）离散空间（也称为堡垒空间）的单点紧致化，其中无穷大处的点是累积点;（2）具有排除点拓扑的空间，其中“排除点”是累积点。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点，所有其他点都是累积点。（这是一个门空间，因为每套都包含𝑝是打开的，每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点，所有其他点都是累积点。（这是一个门空间，因为每套都包含𝑝是打开的，每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

门间距<math>(X,\tau)</math>没有孤立点的正是具有以下形式的拓扑结构<math>\tau=\mathcal U \cup \{\emptyset\}</math>对于一些[[超滤子|免费的超滤器]]<math>\mathcal U</math>在<math>X.</math> <ref>{{Cite journal |last=McCartan |first=S. D. |date=1987 |title=Door Spaces Are Identifiable |url=https://www.jstor.org/stable/20489255 |journal=Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences |volume=87A |issue=1 |page=13–16 |issn=0035-8975 |jstor=20489255 |access-date=2024-04-04 |archive-date=2024-01-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240107234739/https://www.jstor.org/stable/20489255 |dead-url=no }}</ref>这样的空间必然是无限的。

连通门空间有三种类型<math>(X,\tau)</math> ： {{Sfn|McCartan|1987|loc=Corollary 3}} <ref>{{Cite journal |last=Wu |first=Jianfeng |last2=Wang |first2=Chunli |last3=Zhang |first3=Dong |date=2018 |title=Connected door spaces and topological solutions of equations |journal=Aequationes Mathematicae |volume=92 |issue=6 |page=1149–1161 |arxiv=1809.03085 |doi=10.1007/s00010-018-0577-0 |issn=0001-9054 |s2cid=253598359}} Theorem 1</ref>

* 具有排除点拓扑的空间；
* 具有包含点拓扑的空间；
* 具有拓扑结构的空间<math>\tau</math>使得<math>\tau\setminus\{\emptyset\}</math>是[[超滤子|免费的超滤器]]<math>X.</math>

== 參考 ==
{{Reflist|group=note}}
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[[Category:拓扑空间性质]]