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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Menger sponge (IFS).jpg|right|thumb|门格海绵]]

'''门格海绵'''（{{lang-en|Menger sponge}}、{{lang-en|Menger universal curve}}）是[[分形]]的一种。它是一个'''通用曲线'''，因为它的[[拓扑维数]]为一，且任何其它[[曲线]]或[[图 (数学)|图]]都与门格海绵的某个子集同胚。它有时称为''门格-谢尔宾斯基海绵''或''谢尔宾斯基海绵''。它是[[康托尔集]]和[[谢尔宾斯基地毯]]在三维空间的推广。它首先由奥地利数学家[[卡尔·门格]]在1926年描述，当时他正在研究拓扑维数的概念。

==结构==

门格海绵的结构可以用以下方法形象化：
# 从一个正方体开始。（第一张图像）
# 把正方体的每一个面分成9个正方形。这将把正方体分成27个小正方体，像[[魔方]]一样。
# 把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体（第二张图像）。
# 把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。

把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。

[[File:Menger sponge (Level 0-3).jpg|600px|center]]

==性质==

门格海绵的每一个面都是[[谢尔宾斯基地毯]]；同时，门格海绵与原先立体的任何一条对角线的交集都是[[康托尔集]]。 

门格海绵是一个[[闭集]]；由于它也是有界的，根据[[海涅-博雷尔定理]]，它是一个[[紧集]]。更进一步，门格海绵是[[不可数集]]，且具有[[勒贝格测度]]0。

门格海绵的[[拓扑维数]]是一，与任何[[曲线]]一样。门格在1926年证明了，它是一个'''通用曲线'''，就是说任何一维曲线都与门格海绵的一个子集[[同胚]]，这里的曲线是指任何[[勒贝格覆盖维数]]为一的[[紧空间|紧]][[度量空间]]。

门格海绵的[[豪斯多夫维]]为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。

门格海绵的表面积无穷大。

==正式定义==
正式地，门格海绵可以定义如下：

:<math>M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n</math>

其中''M<sub>0</sub>''是[[单位立方体]]，且：

:<math>M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & 
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \end{matrix}
\end{matrix}\right\}</math>且i、j和k中最多只有一个等于1。

==参见==
* [[谢尔宾斯基三角形]]
* [[科赫曲线]]

==参考文献==
{{refbegin}}
* Karl Menger, ''General Spaces and Cartesian Spaces'', (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in ''Classics on Fractals'', Gerald A.Edgar, editor,  Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
* Karl Menger, ''Dimensionstheorie'', (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
{{refend}}

==外部链接==
{{Commons|Menger sponge}}
* [https://web.archive.org/web/20080515093001/http://www.ibiblio.org/e-notes/VRML/Poly/Poly.htm 分形多面体] （VRML）和[https://web.archive.org/web/20051217041007/http://www.ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Sponge.htm 互动Java模型]
*[http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html Menger sponge at Wolfram MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html |date=20201127145455 }}
*[http://theiff.org/oexhibits/menger01.html The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. [[Jeannine Mosely]] – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring] {{Wayback|url=http://theiff.org/oexhibits/menger01.html |date=20210309001312 }}
*[http://www.mathematik.com/Menger/Menger2.html An interactive Menger sponge] {{Wayback|url=http://www.mathematik.com/Menger/Menger2.html |date=20210125175217 }}
*[https://web.archive.org/web/20051217041007/http://www.ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Sponge.htm Interactive Java models]
*[http://santisan.free.fr/coco/extras2.htm Puzzle Hunt] {{Wayback|url=http://santisan.free.fr/coco/extras2.htm |date=20210224035333 }} — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
*[http://www.pure-mirage.com/html/Optimized%20Menger%20Sponges.htm Menger Sponge Animations] {{Wayback|url=http://www.pure-mirage.com/html/Optimized%20Menger%20Sponges.htm |date=20210227001735 }} — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
*[http://www.flickr.com/photos/fpsunflower/337024546/ Menger sphere] {{Wayback|url=http://www.flickr.com/photos/fpsunflower/337024546/ |date=20210310065428 }}, rendered in [[SunFlow]]
*[http://www.flickr.com/photos/rougeux/sets/72157621702780335/ Post-It Menger Sponge] {{Wayback|url=http://www.flickr.com/photos/rougeux/sets/72157621702780335/ |date=20210509073448 }} – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
*[http://www.nytimes.com/2011/06/28/science/28math-menger.html?_r=1 The Mystery of the Menger Sponge.] {{Wayback|url=http://www.nytimes.com/2011/06/28/science/28math-menger.html?_r=1 |date=20210308130458 }} Sliced diagonally to reveal stars
*[http://oeis.org/A212596 Number of cards required to build a Menger sponge of level n in origami] {{Wayback|url=http://oeis.org/A212596 |date=20210308162048 }}
*[http://www.woollythoughts.com/menger.html Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge] {{Wayback|url=http://www.woollythoughts.com/menger.html |date=20210417131828 }} by two "Mathekniticians"

{{分形}}

[[Category:分形]]
[[Category:拓扑空间]]
[[Category:立方體]]