查看“︁關係範疇”︁的源代码

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|caption1=<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">關係範疇'''Rel'''.</div>
|alt1='''Rel'''

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|caption2=<div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;">'''Rel'''<nowiki />的反範疇'''Rel<sup>op</sup>'''.</div>
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}}
在[[數學]]上，'''關係範疇'''（記做'''Rel'''）指的是以[[集合 (数学)|集合]]為物件、以[[二元關係]]為[[態射]]的[[範疇]]。

在這個範疇中，其態射<math>R: A \longrightarrow B</math>是<math>A</math>與<math>B</math>之間的關係，因此<math>R \subseteq A \times B</math>

這範疇中兩個關係<math>R: A \longrightarrow B</math>及<math>S: C \longrightarrow D</math>的合成由下式給出：

<math>(a, c) \in S \circ R</math>，若且唯若對於一些<math>b \in B</math>而言，<math>(a, b) \in R</math>且<math>(b, c) \in S</math><ref>{{cite book|authorlink = Saunders Mac Lane|last1=Mac Lane|first1=S. |title=Categories for the Working Mathematician|date=1988|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=0-387-90035-7|page=26|edition=1st}}</ref>

關係範疇又被一些人稱為「集合間對應的範疇」（category of correspondences of sets）。<ref>{{Cite book| last=Pareigis| first=Bodo| title=Categories and Functors| year=1970 |page=6| isbn=978-0-12-545150-5| publisher=[[Academic Press]]| series=Pure and Applied Mathematics| volume=39}}</ref>

==性質==
[[集合範疇]]是關係範疇的（寬）[[子範疇]]，其中集合範疇的態射<math>f: X \longrightarrow Y</math>對應至以<math>(x, y) \in F \iff f(x) = y</math>定義的關係<math>F \subseteq X \times Y</math>。<ref>Rydeheard與Burstall二氏將此範疇給記做'''Set'''<sub>Rel</sub></ref><ref>George Bergman (1998), ''[http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html An Invitation to General Algebra and Universal Constructions] {{Wayback|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html |date=20200804143224 }}'', §7.2 '''RelSet''', Henry Helson Publisher, Berkeley. {{isbn|0-9655211-4-1}}.</ref>

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其{{link-en|反範疇|opposite category}}映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個{{link-en|逆關係|Converse relation}}，因此關係範疇包含其反範疇且是個{{link-en|雙對（範疇論）|Dual (category theory)|自雙對}}。<ref name=MB&CW>[[Michael Barr (mathematician)|Michael Barr]] & [[Charles Wells (mathematician)|Charles Wells]] (1998) [http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf Category Theory for Computing Science] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304031956/http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |date=2016-03-04 }}, page 83, from [[McGill University]]</ref>

由逆關係作代表所建構的[[對合]]為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個{{link-en|短劍範疇|dagger category}}。

關係範疇有兩個做為{{link-en|同態函子|hom functor}}並映至自己的函子，其中一個是二元關係<math>R \subseteq A \times B</math>，另一個則是其轉置<math>R^T \subseteq B \times A</math>，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為<math>R R^T</math>及<math>R^T R</math>，其中第一個合成關係<math>R R^T</math>給出了A上的{{link-en|齊次關係|homogeneous relation}}；而第二個合成關係<math>R^T R</math>則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個{{link-en|閉範疇|Closed category}}，且是個{{link-en|短劍緊緻範疇|dagger compact category}}。

關係範疇可以{{link-en|克萊斯利範疇|Kleisli category}}的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至[[冪集]]的函子為協變函子的[[單子 (範疇論)|單子]]。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以[[不交并|不相交聯集]]（而非如集合範疇一般的[[笛卡爾積]]）定義的<ref name=MB&CW/>{{rp|181}}，而其{{link-en|餘積|Coproduct}}亦然。

就其幺半乘積<math>A \otimes B</math>與內部同態函子<math>A \implies B</math>而言，關係範疇是個{{link-en|閉幺半範疇|Closed monoidal category}}。

關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構{{link-en|寓範疇|Allegory (mathematics)}}的原型<ref>{{link-en|Peter J. Freyd|}} & Andre Scedrov (1990) ''Categories, Allegories'', pages 79, 196, North Holland {{ISBN|0-444-70368-3}}</ref>，他們自{{link-en|正則範疇|regular category}}與<math>F: A \longrightarrow B</math>出發，他們注意到了派生函子<math>Rel(A,B) \longrightarrow Rel(FA,FB)</math>的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

==關係作為物件==
David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是<math>A</math>是一個集合而<math>R \subseteq A \times A</math>是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在<math>S \subseteq B \times B</math>是第二個關係且<math>f: A \longrightarrow B</math>是一個使得<math>xRy \implies f(x)Sf(y),</math>成立的函數，那<math>f</math>是一個態射。<ref name=R&B>David Rydeheard & {{link-en|Rod Burstall|}} (1988) ''Computational Category Theory'', page 41, [[Prentice-Hall]] {{ISBN|978-0131627369}}</ref>

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件<math>(A,R)</math>與<math>(B,S)</math>給設成（集合，關係）。<ref>Juri Adamek, Horst Herrlich, and George E. Strecker (2004) [1990] [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf Abstract and Concrete Categories] {{Wayback|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |date=20150421081851 }}, section 3.3, example 2(d) page 22, from [http://katmat.math.uni-bremen.de/ Research group KatMAT] {{Wayback|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/ |date=20220317015811 }} at [[University of Bremen]]</ref>

==參考資料==
{{Reflist}}

* {{cite book|author=Francis Borceux|title=Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures|url=https://books.google.com/books?id=5i2v9q0m5XAC&pg=PA115|year=1994|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-44179-7|page=115|access-date=2022-07-14|archive-date=2022-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20220714052551/https://books.google.com/books?id=5i2v9q0m5XAC&pg=PA115}}


[[Category:二元運算]]
[[Category:数学关系]]