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在[[數學]]的[[拓撲學]]中，'''開映射'''是兩個[[拓撲空間]]之間的[[映射]]，使得任何[[開集]]的[[像]]都是開集；'''閉映射'''是兩個[[拓撲空間]]之間的[[映射]]，使得任何[[閉集]]的像都是閉集。所以''f'': ''X'' → ''Y''是開映射（閉映射），如果''X''中的開集（閉集）在''f''下的[[像]]都為''Y''的開集（閉集）。

開映射和閉映射的定義中，並不要求映射[[連續函數 (拓撲學)|連續]]。與之比較，映射''f'': ''X'' → ''Y''為連續映射的定義，是所有''Y''的開集的[[原像]]為''X''的開集，也可等價地定義為所有''Y''的閉集的原像為''X''的閉集。雖然開映射和閉映射的定義，似較連續映射為自然，但在拓撲學中其重要性不及連續映射。

==例子==
*定義[[連續函數]]''f'': '''R''' → '''R'''為''f''(''x'')=''x''<sup>2</sup>，則''f''是閉映射，但不是開映射。

*任何[[同胚]]都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚，若且唯若映射是開映射，或等價地，若且唯若映射是閉映射。

*''X''上的恆等映射是一個同胚，故為既開且閉的。但如果''X''是''Y''的子空間，則僅當''X''在''Y''中為開集（閉集）時，從''X''到''Y''的包含映射<math>X\hookrightarrow Y</math>是開映射（閉映射）。故此映射的[[到達域]]需要指明，以辨別映射是否為開或閉映射。

*定義從[0,2π)到單位圓（視為'''R'''<sup>2</sup>中的圓，原點為圓心）的函數：在[0,2π)中的θ所對應的值，是單位圓上與''x''軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的，所以其從單位圓到[0,2π)的[[逆函數]]是既開且閉的。這個[[逆函數]]將[[緊緻]]的單位圓，映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性，這點與連續映射不同。

*若''Y''有[[離散拓撲]]，則任何到''Y''中的映射都是既開且閉，但這映射未必連續。例如從實數集'''R'''到整數整'''Z'''的[[取整函數]]是既開且閉，但不是連續。

*對於任何[[積空間|拓撲空間的積]]''X'' = Π ''X''<sub>''i''</sub>，由[[積拓撲]]的定義，其投射''p''<sub>''i''</sub>: ''X'' → ''X''<sub>''i''</sub>是開且連續的。不過這投射不一定是閉的：例如令''p''<sub>1</sub>: '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''是從'''R'''<sup>2</sup>到''x''軸上的投射，並設''A''是函數''f''(''x'')=1/''x''的[[函數圖像|圖像]]，即由全部形如(''x'',1/''x'')的點構成的集合。那麼''A''是'''R'''<sup>2</sup>中的閉集，但''p''<sub>1</sub>(''A'')不是''x''軸中的閉集。不過若''Y''為[[緊緻集]]，則投射''X'' × ''Y'' → ''X''是閉映射。

==性質==
一個映射''f'': ''X'' → ''Y''是開映射若且唯若對''X''中每一點''x''及其任何（任意小的）[[鄰域]]''U''，都存在''f''(''x'')的鄰域''V''使得''V'' ⊂ ''f''(''U'')。因此若''f''將''X''的某個[[基 (拓撲)|拓撲基]]中的元素都映射到''Y''的開集，則''f''是開映射。

開映射和閉映射的定義，可用[[內部算子]]和[[閉包算子]]表達如下：設''f'': ''X'' → ''Y''是映射。
*''f''是開映射，若且唯若對任何''A'' ⊆ ''X''，有''f''(''A''<sup>°</sup>) ⊆ ''f''(''A'')<sup>°</sup>。
*''f''是閉映射，若且唯若對任何''A'' ⊆ ''X''，有''f''(''A''<sup>−</sup>) ⊆ ''f''(''A'')<sup>−</sup>。

兩個開映射的[[複合函數|複合]]是開映射；兩個閉映射的[[複合函數|複合]]是閉映射，

兩個開映射的[[積空間|積]]是開映射，但兩個閉映射的[[積 (拓撲)|積]]未必是閉映射。（例如取前述的投射''p''<sub>''1''</sub>: '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''，視之為兩個映射''f''和''g''的積，其中''f''是''x''軸上的恆等函數，''g''是從''y''軸到只包含點0的集合{0}的函數。''f''和''g''為閉映射，但''p''<sub>''1''</sub>不是。）

一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射，其逆映射是雙射的既開且閉映射，反之亦然。

一個滿射的開映射不一定是閉映射，同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射，

設''f''是連續映射，且是開的或閉的，那麼
*若''f''是[[滿射]]，則''f''是[[商映射]]。
*若''f''是[[單射]]，則''f''是[[拓撲嵌入]]。
*若''f''是[[雙射]]，則''f''是[[同胚]]。
''f''為開或閉映射的條件，對前兩項只是[[充分條件]]，對第三項也是[[必要條件]]。

==特徵定理==
有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。

'''閉映射引理'''指，從緊緻集''X''到[[豪斯多夫空間]]''Y''的連續映射''f'': ''X'' → ''Y''都是閉且[[逆緊映射|逆緊]]（緊緻集的原像都為緊緻）。這結果的一個變化指，[[局部緊空間|局部緊緻]][[豪斯多夫空間]]之間的一個連續映射若為逆緊，則這映射是閉映射。

[[泛函分析]]中的[[開映射定理]]指，[[巴拿赫空間]]之間的[[連續線性算子]]若是滿射，則為開映射。

[[複分析]]中的[[開映射定理 (複分析)|開映射定理]]指，在[[複平面]]的[[連通]]開子集上定義的非常數[[全純函數]]是開映射。

[[區域不變性定理]]指，兩個''n''維[[拓撲流形]]間的局部單射且連續的映射都是開映射。

==參考==
*{{cite book | last=Munkres | first=James R. | authorlink=詹姆士·雷蒙·芒克勒斯| title=Topology | edition=2nd | publisher=[[Prentice Hall]] | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}

[[Category:點集拓撲學|K]]