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在[[數學]]中，設 <math>A</math> 為[[环 (代数)|環]]，一個 <math>A</math>-[[模]] 之'''長度'''是一個[[整數]]（包括無窮大），它推廣了[[向量空間]]的[[維度]]。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

==動機==
[[單模]]是除了零和本身外沒有子模的[[模]]，這種模有時也稱為''不可約模''。例如不可約的向量空間（視為[[体 (数学)|域]]或[[除環]]上的模）是一條直線。對於單模，我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈：

: <math>\{0\} \subsetneq M</math>

單模是容易處理的對象。對於一個[[环 (代数)|環]] <math>A</math> 上的 <math>A</math>-模 <math>M</math>，如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈：

: <math>M_0 = \{0\} \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1} \subsetneq M_n = M</math>

使得每個子商 <math>M_k/M_{k-1}</math> 都是單模，那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義，這時 <math>M</math> 將是有限長度的模，其長度 <math>\ell_R(M)</math>恰為 <math>n</math>。

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子：設 <math>E</math> 是域 <math>k</math> 上的有限維向量空間，那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 <math>(E_k)_{0 \leq k}</math>，使得維度在每一步都加一：

: <math>E_0 = \{0\} \subsetneq E_1 \subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1} \subsetneq E_n = E</math>

而此時 <math>\dim_k E = \ell_k(E)</math>，這種資料稱作'''旗'''。

==定義==
設 <math>A</math> 為一個[[环 (代数)|環]]（可能非交換）， 一個 <math>A</math>-模 <math>M</math> 的'''長度'''定義為嚴格遞增的子模鏈長度的[[上確界]]：此即最大可能的整數 <math>n</math>（可能是無窮大），使得 <math>M</math> 中存在嚴格遞增的子模鏈 <math> M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n</math>。模 <math>M</math> 的長度記為 <math>\ell_A(M)</math>，不致混淆時也逕寫作 <math>\ell(M)</math>。

==例子==
* 模 <math>M</math> 是[[單模]]的充要條件是長度為一。
* 對於向量空間，長度等於維度。
* 整數環 <math>\Z</math> 視為 <math>\Z</math>-模，則其長度為無窮大，因為存在任意長的子模鏈 <math>2^n \Z \subsetneq 2^{n-1} \Z \subsetneq \cdots \subsetneq 2 \Z \subsetneq \Z</math>。
* 設正整數 <math>n</math> 的素因數分解為 <math>n = \prod_p p^{n_p}</math>，則有
: <math>\ell_\Z(\Z / n\Z) = \sum_p n_p </math>

==性質==
有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如：若 <math>M</math> 為有限長模，則其子模皆有限長，設 <math>N, P</math> 為兩個子模，<math>\ell(N) = \ell(P)</math> 且 <math>N \subseteq P</math>，則 <math>N=P</math>。

我們有 Grassman 公式：
: <math>\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)</math>

對於有限長模 <math>M</math>，一個極大的子模鏈 <math>\{0\} = M_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M </math> 稱為一個[[合成列]]，其長度 <math>n</math> 是固定的，且合成因子 <math>M_i/M_{i+1}</math> 在至多差一個[[置換]]與同構的意義下唯一。

此外，一個模是有限長模若且唯若它同時是[[阿廷模]]與[[諾特模]]。

==文獻==
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

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[[Category:模論|C]]
[[Category:长度]]