查看“︁锥台”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polyhedron
| name = 錐台
| polyhedron = 錐台
| Custom image = {{LinkSymbol|left}}Image:Pentagonal frustum.svg{{!}}110px{{LinkSymbol|)(}}Image:Usech kvadrat piramid.png{{!}}110px{{LinkSymbol|right}}
| caption = 例如：五角錐台與四角錐台
| Type = 錐台
| Face=n+2
| Edge=3⋅n
| Vertice=2⋅n
| variable=n
| variable_dest=底面邊數
| Face_type = ''n'' 个[[梯形]], 2 个''n''边形
| Symmetry_group = [[空間對稱群|C<sub>''n''v</sub>]], [1,''n''], (*''nn'')
| dual = 不對稱[[雙錐體]]
| Properties =凸多面体
| 3d_image = Pentagonal_frustum.svg
| dual_image = Dual of pentagonale frustum.png
| net_image = Net of right pentagonal frustum.png
}}
'''棱台'''是[[几何学]]中研究的一类[[多面体]]，指一个[[棱锥]]被[[平行]]于它的底面的一个[[平面 (数学)|平面]]所截後，截面与底面之间的[[幾何形狀|几何形体]]。截面也称为棱台的上底面，原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同，棱台的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱台称为方棱台，底面为三角形的棱台称为三棱台，底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是[[平截头体]]的一类，也是更广义的[[拟柱体]]的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为[[圆台]]与[[棱台]]。

从棱台的定义可以推知，一个以{{math|''n''}}边形为底面的棱台，一共有2{{math|''n''}}个[[頂點 (幾何)|顶点]]，{{math|''n''}}+2个面以及3{{math|''n''}}条边。棱台的[[对偶多面体]]是[[双锥]]。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥，那么棱台和正多边形有相同的对称结构（[[群同构|同构]]的[[对称群]]）。

== 性质 ==
=== 体积 ===
棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设<math>h</math>為棱台的高，<math>S_u</math>和<math>S_d</math>為棱台的上下底面積，<math>V</math> 為棱台的[[体积]]。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是<math>H</math>，那么小棱锥的高是<math>H - h</math>。也就是说：
<center><math>\frac{H-h}{H} = \sqrt{ \frac{S_u}{S_d}}</math></center>
所以：
<center><math>H = \frac{h  \sqrt{S_d}}{\sqrt{S_d} - \sqrt{S_u}}</math></center>
棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积：
:<math>V = \frac{S_d H}{3} - \frac{S_u (H - h)}{3} = \frac{(S_d  \sqrt{S_d} - S_u \sqrt{S_u})h}{3(\sqrt{S_d} - \sqrt{S_u})} = \frac{h}{3} \left(S_d +  S_u +  \sqrt{S_d} \sqrt{S_u} \right) </math> 

对于正棱锥，假设它的底面是正{{math|''n''}}边形，边长分别为{{math|''a''}}和{{math|''b''}}，高是{{math|''h''}}，那么底面积是：<math>S_u = \frac{n a^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}, \quad S_u = \frac{n b^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}.</math>
所以它的体积是：
<div style="text-align: center;"><math>V = \frac{n (a^2 + b^2 + ab) h}{12} \cot \frac{\pi}{n}.</math></div>

===表面积===
棱台的侧面展开图是由各个[[梯形]]侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积{{math|S<sub>c</sub>}}
:<math>S_c =\sum_{i=1}^n S_i </math>，其中<math>S_i  , i=1,2 \cdots , n</math>是第 i 个侧面的面积。
棱台的表面积等于棱台的侧面积{{math|S<sub>c</sub>}}加上底面积{{math|S}}。假设各个梯形侧面的高是{{math|h<sub>i</sub>}}，底边的长度是{{math|a<sub>i</sub>}}和{{math|b<sub>i</sub>}}，那么棱锥的侧面积：
:<math>S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12  \sum_{i=1}^n (a_i+ b_i) h_i.</math>
===体积公式===
棱台或圆台的[[体积]]是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：
:<math>V = \frac{h_2 B_2 - h_1 B_1}{3}</math>
''B''<sub>1</sub> 指一个底面的面积，''B''<sub>2</sub>指另一个底面的面积, and ''h''<sub>1</sub>， ''h''<sub>2</sub> 指原[[頂點 (幾何)|顶点]]分别到两底面的面积。
考虑到
:<math>\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}</math>
这个体积也可用平截头体的高 ''h'' = ''h''<sub>2</sub>−''h''<sub>1</sub>  与两底面面积的[[希罗平均数]]表达：
:<math>V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2})</math>
[[亚历山大里亚的希罗]] 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。<ref>Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998</ref>

特别地， 圆台的体积是
:<math>V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1 R_2)</math>
[[pi|''π'']] 等于 3.14159265...，'R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub> 是两底面的[[半径]]。

[[Image:Frustum with symbols.svg|right|thumb|x200px|Pyramidal frustum.]]
底面为n边形的棱台的体积是
:<math>V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_2^2+a_1a_2)\cot \frac{180}{n}</math>
''a''<sub>1</sub> 与 ''a''<sub>2</sub> 是底面的边长。

===表面积公式===
对于一个正圆台，<ref>{{cite web |url=http://www.mathwords.com/f/frustum.htm |title=Mathwords.com: Frustum |accessdate=17 July 2011 |archive-date=2021-01-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210126030216/http://www.mathwords.com/f/frustum.htm }}</ref>
:<math>\begin{align}\text{Lateral Surface Area}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}</math>
:<math>\begin{align}\text{Total Surface Area}&=\pi\left[(R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2\right]\\
&=\pi\left[(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2\right]\end{align}</math>
Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，''R''<sub>1</sub> and ''R''<sub>2</sub> 为底面半径，''s'' 为平截头体的斜高。
一个底面为正n边形的正棱台的表面积是
:<math>A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]</math>
''a''<sub>1</sub> 与 ''a''<sub>2</sub>是两底面的边长。

==參見==
* [[金字塔]]：某些金字塔是棱台状建筑，大部分是四棱台；
* [[圓台]]：平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分；
* [[棱锥]]：多边形的各个[[頂點 (幾何)|顶点]]与平面外一点相连得到的[[幾何形狀|几何体]]。
*[[雙錐台]]
*[[錐體]]

==参考资料==
<references/>

==链接==
{{Wiktionary|frustum}}
{{Commons category|Frustums}}
*[https://web.archive.org/web/20090304161652/http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone] (Mathalino.com)
*{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal frustum}}
*{{MathWorld |urlname=ConicalFrustum |title=Conical frustum}}
*[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=truncated%20pyramids%20of%20the%20same%20height Paper models of frustums (truncated pyramids)] {{Wayback|url=http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=truncated%20pyramids%20of%20the%20same%20height |date=20170606003316 }}
*[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tapared%20cylinder Paper model of frustum (truncated cone)] {{Wayback|url=http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tapared%20cylinder |date=20171208004136 }}
*[http://www.verbacom.com/cone/cone.php Design paper models of conical frustum (truncated cones)] {{Wayback|url=http://www.verbacom.com/cone/cone.php |date=20201124151651 }}

{{几何术语}}
{{Convex polyhedron navigator}}