查看“︁链复形”︁的源代码

{{NoteTA
|T=zh-hans:链复形;zh-hant:鏈複形;
|1=zh-hans:复形;zh-hant:複形;
}}

[[数学]]上，[[同调代数]]领域中的一个'''链复形'''<math>(A_\bullet, d_\bullet)</math>是一个[[交换群]]或者[[模]]的序列''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>... 通过一系列[[同态]]''d''<sub>''n''</sub> : ''A''<sub>''n''</sub>&rarr;''A''<sub>''n''-1</sub>相连，使得每两个连接的映射的复合为零：''d''<sub>''n''</sub> o ''d''<sub>''n''+1</sub> = 0对于所有''n''。它们常常写作如下形式：

::<math>\ldots \longrightarrow 
A_{n+1} \begin{matrix}  d_{n+1} \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_n     \begin{matrix}  d_n     \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1} \\ \longrightarrow  \\ \, \end{matrix}
A_{n-2} \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_2     \begin{matrix}  d_2     \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix}  d_1 \\ \longrightarrow \\   \, \end{matrix}
A_0 \begin{matrix}  d_0 \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix} 0.</math>

定義鏈複形的'''同調群'''為 <math>H_n(A_\bullet) := \mathrm{Ker}(d_n)/\mathrm{Im}(d_{n+1})</math>。當所有同調群為零時，此鏈複形為[[正合序列|正合]]的。

链复形概念的一个变种是''上链复形''。一个'''上链复形'''<math>(A^\bullet, d^\bullet)</math>是一个[[交换群]]或者[[模]]的序列''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>...由一系列[[同态]]''d''<sub>''n''</sub> : ''A''<sub>''n''</sub>&rarr;''A''<sub>''n''+1</sub>相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：''d''<sub>''n''+1</sub> o ''d''<sub>''n''</sub> = 0 对于所有的''n'':  

::<math>0 \longrightarrow 
A_0 \begin{matrix} d_0  \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_1 \begin{matrix} d_1  \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_2  \longrightarrow \ldots \longrightarrow
A_{n-1} \begin{matrix}  d_{n-1}     \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_n \begin{matrix}  d_n \\ \longrightarrow \\  \, \end{matrix}
A_{n+1} \longrightarrow \ldots.</math>

定義上鏈複形的'''上同調群'''為 <math>H^n(A^\bullet) := \mathrm{Ker}(d^n)/\mathrm{Im}(d^{n-1})</math>。當所有上同調群為零時，此上鏈複形[[正合序列|正合]]。想法基本上是一样的。

链复形的应用通常定义并应用它们的[[同调群]]（对于上链复形是[[上同调群]]）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在[[交换范畴]]中定义。

一个'''有界复形'''是其中，[[几乎所有]]的''A''<sub>''i''</sub>为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）[[单纯复形]]的[[同调理论]]的复形。

==例子==
===[[奇异同调]]===

假定我们给定一个[[拓扑空间]]''X''。

定义''C''<sub>''n''</sub>(''X'')（对于[[自然数]]''n''）为[[自由交换群]]由''X''中的[[奇异同调|奇异单纯形]]形式化的生成，并定义边界映射

::<math>\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X): \, (\sigma: [v_0,\ldots,v_n] \to X) \mapsto 
(\partial_n \sigma = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sigma|[v_0,\ldots, \hat v_i, \ldots, v_n]),</math>

其中帽子表示省略一个[[頂點 (幾何)|顶点]]。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明&part;&sup2; = 0，所以<math>(C_\bullet, \partial_\bullet)</math>是一个链复形；''[[奇异同调]]'' <math>H_\bullet(X)</math>是该复形的同调类；也就是说，

::<math>H_n(X) = \ker \partial_n / \mbox{im } \partial_{n+1}</math>.

===[[德拉姆上同调]]===

任何[[光滑流形]]上的微分''k''-形式在[[加法]]下组成一个[[交换群]]（事实上一个[[实数|'''R''']]-[[向量空间]]）称为&Omega;<sup>''k''</sup>(''M'')。
[[外导数]] ''d'' = ''d''<sub> ''k''</sub> 映射 &Omega;<sup>''k''</sup>(''M'') &rarr; &Omega;<sup>''k''+1</sup>(''M'')，而且''d''<sup> 2</sup> = 0可以直接从[[二阶导数的对称性]]导出，所以''k''-形式的[[向量空间]]和外导数一起成为一个[[上链复形]]：

::<math> \Omega^0(M) \to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) \to \Omega^3(M) \to \ldots.</math> 

该复形的上同调是''德拉姆上同调'' 

::<math>H^k_{\mathrm{DR}}(M) = \ker d_{k+1} / \mbox{im } d_k</math>.

==鏈映射==
兩個鏈複形 <math>(A_\bullet, d_{A,\bullet})</math>、<math>(B_\bullet, d_{B,\bullet})</math> 之間的'''鏈映射'''是一族同態 <math>f_n : A_n \rightarrow B_n</math>，使之滿足： <math> f_n \circ d_{A,n}= d_{B,n} \circ f_{n+1}</math>；全體鏈複形依此構成一[[範疇論|範疇]]。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 <math>(X^\bullet, d_X^\bullet)</math>、<math>(Y^\bullet, d_Y^\bullet)</math> 之間的'''上鏈映射'''是一族同態 <math>f^n : X^n \rightarrow Y^n</math>，使之滿足： <math> f^{n+1} \circ d_X^n = d_Y^n \circ f^n</math>。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是'''函子性'''或稱'''自然性'''的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。

==鏈同倫==
兩個鏈映射 <math>f_n, g_n: A_\bullet \rightarrow B_\bullet</math> 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 <math>D_n: A_n \rightarrow B_{n+1}</math> 使得 <math>f_n - g_n = d_{n+1} \circ D_n + D_{n-1} \circ d_n </math>。

上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 <math>D^n: X^n \rightarrow Y^{n+1}</math>。以下給出上鏈同倫的圖解：
[[File:Diagram chain homotopy.svg]]

（上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是[[擬同構]]。

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

===参看===
* [[同调]]
* [[微分分级代数]]

[[Category:同調代數|L]]