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{{Other uses list|指示[[重力]]方向的方向线|作为测量工具的重物|铅垂|[[三角形]]中过顶点与底边[[垂直]]的直线|高线}}
[[File:Geoid-2Vert,Equipotential.png|缩略图|440x440像素|[[橘红色]]的横向虚线为各重力等位面，其中加粗的为[[大地水准面]]（Geoid）；[[阳橙色]]的纵向虚线为铅垂线（true vertical），其与重力等位面[[正交]]。]]

'''铅垂线'''（{{Lang-en|Plumb line}}），又称'''垂线'''或'''力线<ref name="whu2">{{cite book|author1=孔祥元|author2=郭际明|author3=刘宗泉|title=大地测量学基础|publisher=武汉大学出版社|ISBN=978-7-30-707562-7|pages=|last=|first=|year=2001|isbn=|location=}}</ref>{{Rp|29}}'''，在[[大地测量学]]中指[[重力]]作用的[[方向线]]<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books?id=pdglBAAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|publisher=Springer|date=2014-05-23|isbn=978-3-642-41245-5|language=en|first=Zhiping|last=Lu|first2=Yunying|last2=Qu|first3=Shubo|last3=Qiao|title=Geodesy: Introduction to Geodetic Datum and Geodetic Systems|year=|location=|pages=|access-date=2020-04-05|archive-date=2020-06-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20200612002629/https://books.google.co.jp/books?id=pdglBAAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|dead-url=no}}</ref>{{Rp|142}}<ref name=":0">{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books?id=2Pls2_6vttUC&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|publisher=清华大学出版社有限公司|date=2001|isbn=978-7-302-04717-9|language=zh|title=现代普通测量学|last=|first=|year=|location=|pages=8|access-date=2020-04-05|archive-date=2020-06-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20200612002633/https://books.google.co.jp/books?id=2Pls2_6vttUC&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|dead-url=no}}</ref>{{Rp|8}}。铅垂线与与[[重力]][[矢量]]的方向处处相切，该方向又被称为'''铅垂方向'''，有时也直接以铅垂线代称。<ref name=":2">{{Cite book|chapter=|url=http://archive.org/details/HeiskanenMoritz1967PhysicalGeodesy|last=San Francisco W. H. Freeman and Company|title=Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy|first=|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1967|isbn=|location=San Francisco|pages=}}</ref>{{Rp|48-50}}在[[重力场]]中，铅垂线通常是[[曲线]]而非[[直线]]，彼此互不平行，与其经过的[[重力等位面]][[正交]]。<ref name=":2" />{{Rp|50}}铅垂线与[[参考椭球面]]的[[法线]]之间的方向偏差被称为'''[[垂线偏差]]'''。<ref name=":2" />{{Rp|83}}

在[[测量学]]中，铅垂线是测量外业的基准线。<ref name=":0" />{{Rp|8}}<ref>{{Cite book|chapter=|series=|url=|publisher=武汉大学出版社|date=2015-07-01|isbn=978-7-307-15677-7|last=潘正风|last2=程效军|last3=成枢|last4=王腾军|last5=翟翊|title=数字地形测量学|first=|year=|location=|pages=}}</ref>

== 曲率 ==
由于在[[重力场]]中，除轴线外，同一[[直线]]上各点的[[重力]][[矢量]]方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有[[曲率]]的[[曲线]]。通过计算铅垂线的曲率，可以将[[地表|地形表面]]上进行的[[天文测量]]数据归算到[[大地水准面]]上。<ref name=":2" />{{Rp|53}}铅垂线在某点处的曲率 <math>\kappa</math> 可以通过该点处的重力矢量的大小 <math>g</math> 及其一阶微分 <math>g_x</math>、<math>g_y</math> 得到：<ref name=":2" />{{Rp|54}}

:<math>\kappa = {1 \over g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}</math>

=== 推导过程 ===
设铅垂线的[[线元]]矢量为 <math>\operatorname{d}\!\mathbf{x} = (\operatorname{d}\!x, \operatorname{d}\!y, \operatorname{d}\!z)</math>，重力矢量为 <math>\mathbf{g} = (W_x, W_y, W_z)</math>，两者间仅相差一个[[比例]]因子：<ref name=":2" />{{Rp|53}}

:<math>\frac{\operatorname{d}\!x}{W_x} = \frac{\operatorname{d}\!y}{W_y} = \frac{\operatorname{d}\!z}{W_z}</math>

根据[[微分几何]]中[[曲率]]的计算公式，铅垂线投影在 <math>xz</math> 平面上的曲率 <math>\kappa_1</math> 为

:<math>\kappa_1 = {\operatorname{d}^2\!x\over\operatorname{d}\!z^2}</math>

上式的二阶[[微分]]可由[[重力位]]  <math>W</math> 的[[偏微分]]得到：

:<math>{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z} = {W_x \over W_z} \longrightarrow
{\operatorname{d}^2\!x\over\operatorname{d}\!z^2} = {1 \over W_z^2}
\left[ W_z(W_{xz}+W_{xx}{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z}) -
W_x(W_{zz}+W_{zx}{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z}) \right]</math>

取沿向上的铅垂方向为 <math>z</math> 轴正向，建立局部[[笛卡尔坐标系|坐标框架]]。此时重力位 <math>W</math> 在 <math>xy</math> 平面的微分为零，即

:<math>W_x = W_y = 0 \longrightarrow {\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z} = 0</math>

将上式代入曲率 <math>\kappa_1</math> 的计算公式，得：

:<math>\kappa_1 = {W_{zx} \over W_z}</math>

其中，重力位沿 <math>z</math> 轴方向的微分 <math>W_z = -g</math>. 其中 <math>g</math> 为重力矢量的大小，即 <math>g = \lVert \mathbf{g} \rVert</math>. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：<ref name=":2" />{{Rp|54}}

:<math>\kappa_1 = {g_x \over g}</math>

同理可证，铅垂线投影在 <math>yz</math> 平面上的曲率 <math>\kappa_2</math> 为

:<math>\kappa_2 = {g_y \over g}</math>

由于铅垂线与 <math>z</math> 轴在上述定义的局部[[笛卡尔坐标系|坐标框架]]中[[相切]]，即铅垂线投影在 <math>xy</math> 平面上的曲率为零，再由[[总曲率]]的计算公式可以得到：<ref name=":2" />{{Rp|54}}

:<math>\kappa = \sqrt{\kappa_1^2+\kappa_2^2} = {1 \over g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}{{物理大地测量学}}
[[Category:测量学]]