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{{noteTA
|1 = zh-cn:模拟; zh-tw:類比;
|2 = zh-cn:数字; zh-tw:數位;
|T = zh-cn:锁相环范围 ; zh-tw:鎖相迴路範圍;
|3 = zh-cn:锁相环; zh-tw:鎖相迴路;
}}
'''hold-in範圍'''、'''捕獲範圍'''（pull-in range，也稱為識別範圍，acquisition range）及'''鎖定範圍'''（lock-in range）是[[鎖相迴路]]電路有關其[[頻率 (物理學)|頻率]]偏差範圍的相關參數，是在不同條件下電路可以鎖定外來訊號的資訊。

==歷史==
在1996年[[锁相环]]的參考書中<ref name=gardner1966>{{cite book
 | first= Floyd |last=Gardner 
 | year = 1966
 | title = Phase-lock techniques.
 | publisher = John Wiley & Sons
 | location = New York
 }}</ref><ref>{{cite book
 | first= A. |last=Viterbi
 | year = 1966
 | title = Principles of coherent communications.
 | url= https://archive.org/details/principlesofcohe00vite | publisher = McGraw-Hill
 | location = New York
 }}</ref>，會介紹像hold-in、pull-in、lock-in等锁相环可以鎖定的頻率範圍，以及其他锁相环相關的頻率範圍。這些參數廣為在相關產業使用（例如當代的工業文獻<ref name=gardner2005>{{cite book
 | first=Floyd |last=Gardner
 | year = 2005
 | title = Phase-lock techniques |edition=3rd
 | publisher = Wiley
 }}</ref><ref name=best2007>{{cite book
 | first= Roland |last=Best
 | year = 2007
 | title = Phase-Lock Loops: Design, Simulation and Application |edition=6th
 | publisher = McGraw-Hill
 }}</ref>以及其他的出版物）。在工程文獻中只會對這些參數給予不嚴謹的定義。
這樣的情形多年之後，在有關同步以及通訊的教科書已有共識，在使用這些參數前小心的提供其定義<ref>{{cite book
 |first1=M. |last1=Kihara |first2=S. |last2=Ono |first3=P. |last3=Eskelinen |year=2002
 | title = Digital Clocks for Synchronization and Communications.
 | publisher = Artech House
 | page = 49
 }}</ref>。之後就出現了嚴謹的數學定義<ref name=Leonov2015>{{cite journal
 | last1=Leonov | first1=G. A.
 | last2=Kuznetsov | first2=N. V.
 | last3=Yuldashev | first3=M. V.
 | last4=Yuldashev | first4=R. V.
 | title=Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory.
 | journal=IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers
 | publisher=IEEE
 | volume=62 | issue=10 | pages=2454–2464
 | doi=10.1109/TCSI.2015.2476295
 |arxiv=1505.04262
 | year=2015
 | s2cid=12292968
 }}</ref><ref name=Leonov2015-2>{{cite journal
 | last1=Kuznetsov | first1=N. V.
 | last2=Leonov | first2=G. A.
 | last3=Yuldashev | first3=M. V.
 | last4=Yuldashev | first4=R. V.
 | title=Rigorous mathematical definitions of the hold-in and pull-in ranges for phase-locked loops
 | journal=IFAC-PapersOnLine
 | volume=48 | issue=11 | pages=710–713
 | doi=10.1016/j.ifacol.2015.09.272
 | year=2015
 | doi-access=free
 }}</ref>。
===加德納有關鎖定範圍定義的問題===
{{le|佛洛依德·加德納|Floyd M. Gardner}}在其著名著作Phaselock Techniques的第一版，有提到鎖定（lock-in）頻率的概念<ref>{{harvnb|Gardner|1966|p=40}}</ref>「假如，因為一些原因，輸入和VCO的頻率差小於迴路頻寬，迴路會幾乎瞬間鎖定，不會脫步（slipping cycle）。可以快速識別頻率的最大頻率差稱為鎖定頻率」。其中有關鎖定頻率以及對應鎖定頻率的定義非常流行，出現在許多的工程文獻上。不過因為在初始狀態時，可能完全沒有頻率差，因此鎖相迴路一開始運作，在識別頻率的過程其實就脫步了。因此在迴路是否脫步的分析中，鎖相迴路的初始狀態就非常重要了。Gardner有關鎖定頻率的概念不太嚴謹，仍需要澄清。

加德納在該書的第二版中有提到：「沒有一個自然的方式可以精確定義唯一的鎖定頻率」，另外也提到：「雖然在本質上很含糊，但鎖定範圍是很有用的概念。」<ref name="gardner1979">{{cite book|last1=Gardner|first1=Floyd |title=Phase-lock techniques |edition=2nd |date=1979 |publisher=John Wiley & Sons |location=New York |page=70}}</ref><ref>see also {{harvnb|Gardner|2005|pp=187–188}}</ref>。

==定義==
* <math>\theta_\Delta(t) = \theta_\text{ref}(t) - \theta_\text{VCO}(t)</math>，是輸入（參考）信號和振盪器（VCO, NCO）信號的相位差。
* <math>\theta_\Delta(0)</math>，是輸入信號和VCO信號的初始相位差
* <math>\omega_\Delta(t) = \dot\theta_\text{ref}(t) - \dot\theta_\text{VCO}(t)</math>，是輸入信號和VCO信號的頻率差。
* <math>\omega_\Delta^\text{free} = \omega_\text{ref} - \omega_\text{VCO}^\text{free}</math>是輸入信號頻率和VCO游走頻率（free running frequency）信號的差值。

一般而言，<math>\omega_\Delta^\text{free} \neq \omega_\Delta(0)</math>，因為 <math>\omega_\Delta(0)</math>會依VCO的初始輸入而定。

=== 鎖定狀態 ===
<blockquote>
'''鎖定狀態的定義'''

在鎖定狀態（locked state）中
#相位誤差擾動很小，頻率誤差很小。
#在小幅的相位擾動以及濾波狀態後，PLL可以回到鎖定狀態。
</blockquote>

=== Hold-in範圍 ===
[[File:Hold-in-expl2 5.svg|center|thumb|512x512px|Hold-in範圍的說明。VCO的游走頻率固定，讓輸入信號頻緩慢變化。當ω在hold-in範圍內，VCO頻率可以校準到對應的數值，稱為追蹤（tracking）。若在hold-in範圍外，VCO無法鎖定輸入信號]]
<blockquote>
'''Hold-in範圍的定義'''

在可達到鎖定狀態的情形下，頻率偏差<math>0 \leq \left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_h</math>的最大值稱為'''hold-in範圍'''，而<math>\omega_h</math>稱為hold-in頻率<ref name=Leonov2015 /><ref name=Leonov2015-2 />。
</blockquote>

若鎖相環在濾波器狀態、VCO和輸入信號頻率和相位的小擾動後，重新進入鎖定狀態，此時的頻率偏差屬於鎖定狀態。此效果稱為[[李雅普诺夫稳定性|穩態穩定性]]。此外，針對hold-in範圍內的頻率偏差，輸入頻率若小幅改變，鎖相迴路可以重新達到新的鎖定狀態（追蹤過程）。

=== 捕獲範圍 ===
捕獲範圍（Pull-in range）也稱為是識別範圍（acquisition range）、捕捉範圍（capture range）<ref>{{cite book
 | first= B. |last=Razavi
 | year = 1996
 | title = Design of Monolithic Phase-Locked Loops and Clock Recovery Circuits-A Tutorial.
 | publisher = IEEE Press
 }}</ref>。

假設鎖相迴路的電源一開始關閉，在<math>t = 0</math>時開啟。假設初始的頻率差夠大，迴路在一個周期內無法鎖定，但VCO頻率會慢慢的朝向參考頻率移動（識別過程）。此效果稱為暫態穩定性。捕獲範圍（Pull-in range）用來說明識別過程可以穩定的頻率偏差範圍（在{{harvtxt|Gardner|1966|p=40}}和{{harvtxt|Best|2007|p=61}}中有說明）。

<blockquote>
'''捕獲範圍定義'''

'''捕獲範圍'''是在任意相位、初始頻率以及濾波器狀態下，讓PLL可以鎖相捕獲的最大頻率偏差範圍<math>0 \leq \left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_p</math>的值，而<math>\omega_p</math>稱為捕獲頻率（pull-in frequency）<ref name=Leonov2015 /><ref name=Leonov2015-2 />。
</blockquote>

捕獲範圍的可靠數值分析很困難，因為在電路中存在[[隱藏吸引子]]<ref name=2017-CNSNS-KuznetsovLYY>{{cite journal
 | last1=Kuznetsov | first1=N.V.
 | last2=Leonov | first2=G.A.
 | last3=Yuldashev | first3=M.V.
 | last4=Yuldashev | first4=R.V.
 | title=Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE
 | journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation
 | volume=51 | pages=39–49
 | doi=10.1016/j.cnsns.2017.03.010
 | year=2017
 | bibcode=2017CNSNS..51...39K
 | url=http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201704031870
 }}</ref><ref name=2016-ARC-BestKLYY>{{cite journal
 | last1=Best | first1=R.
 | last2=Kuznetsov | first2=N.V.
 | last3=Leonov | first3=G.A.
 | last4=Yuldashev | first4=M.V.
 | last5=Yuldashev | first5=R.V.
 | title= Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop
 | journal= IFAC Annual Reviews in Control
 | volume=42 | pages=27–49
 | doi=10.1016/j.arcontrol.2016.08.003
 | year=2016
 | bibcode=
 | s2cid=10703739
 | url=https://zenodo.org/record/896255
 }}</ref><ref name=2019-DAN-KuznetsovLYY>{{cite journal
 | last1=Kuznetsov | first1=N.V.
 | last2=Lobachev | first2=M.V.
 | last3=Yuldashev | first3=M.V.
 | last4=Yuldashev | first4=R.V.
 | title=On the Gardner problem for phase-locked loops
 | journal= Doklady Mathematics
 | volume=100 
 | number=3
 | pages=568–570
 | doi=10.1134/S1064562419060218
 | year=2019
 | bibcode=
 | url=
 }}</ref>。

=== 鎖定範圍 ===
假設PLL一開始已鎖定，參考頻率<math>\omega_1</math>突然劇烈變化（步階變化）。鎖定範圍（Pull-in range）可以保證在一段時間（可能是很長的一段時間）之內，PLL最後會同步。這種長的的識別過程稱為脫步（cycle slipping）。

<blockquote>
若初始和最後的相位偏差大於<math>2\pi</math>，就有脫步（cycle slipping）的情形。
:<math> \exist t > T_\text{lock}: \left|\theta_\Delta(0) - \theta_\Delta(t)\right| \geq 2\pi.</math>
</blockquote>

不過，有時也會考慮偏差的限制，以及偏差的最大值<ref>{{cite book
 | first=J. |last=Stensby
 | year = 1997
 | title = Phase-Locked Loops: Theory and Applications.
 | publisher = Taylor & Francis
 }}</ref>

<blockquote>
'''鎖定範圍的定義'''

若鎖相迴路已在鎖定狀態，在'''鎖定範圍'''（lock-in range）內的突然變化
<math>\omega_\Delta^\text{free}</math>（<math>\left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_\ell</math>）,鎖相迴路可以在沒有脫步的情形下鎖定。<math>\omega_\ell</math>稱為鎖定頻率（lock-in frequency）<ref name=Leonov2015 /><ref name=Leonov2015-2 />
</blockquote>

==參考資料==
{{Reflist}}

[[Category:通信电路]]
[[Category:電子設計]]
[[Category:无线电电子学]]