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{{Expand|time=2013-02-14T05:13:26+00:00 }}
'''錢珀瑙恩數'''（{{lang|en|'''Champernowne constant'''}}）{{math|''C''<sub>10</sub>}}是一個[[實數]]的[[超越數]]，其十進制表示法有重要的特性，得名自數學家{{link-en|D. G.錢珀瑙恩|D. G. Champernowne}}，在1933年以本科生(剑桥大学)的身份發表有關錢珀瑙恩數的論文。

在[[十進制]]下，可以用連續整數來定義錢珀瑙恩數：

<math>C_{10} = 0.12345678910111213141516...</math> {{OEIS|id=A033307}}.

也可以定義其他進制系統下的錢珀瑙恩數：

<math>C_2 = (0.1101110010111011110001001...)_2</math>

<math>C_3 = (0.12101112202122100101102110...)_3</math>

<math>C_{36} = (0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}</math>

'''錢珀瑙恩字'''（'''Champernowne word'''）或是'''巴比尔字'''（'''Barbier word'''）是指由''C''<sub>''k''</sub>各位數形成的數列<ref>Cassaigne & Nicolas (2010) p.165</ref><ref>*{{cite book | last1 = Allouche | first1 = Jean-Paul | last2 = Shallit | first2 = Jeffrey |  | isbn = 978-0-521-82332-6 | publisher = [[Cambridge University Press]] | title = Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations | url = https://archive.org/details/automaticsequenc00allo_946 | year = 2003 | zbl=1086.11015 | page=[https://archive.org/details/automaticsequenc00allo_946/page/n312 299] }}</ref>。

十進制下的錢珀瑙恩數{{math|''C''<sub>10</sub>}}為[[正規數]]，是每個數字出現機會均等的實數。

== 性質 ==
[[实数]]''x''若在某一進制''b''下，其數字都是均勻分佈，此實數在[[底數 (指數)|底數]]b下為[[正规数]]]。均勻分佈的意思是所有數字出現比率相近，所有二位數字組合出現比率相近，所有三位數字組合出現比率相近等。若實數在所有進制都是正规数，則稱為絕對正規數。

若將一數字的各位數組成一字串，為[''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ...]，而此數字在10進制下正規數，因此可以預期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出現的機率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出現的機率都是1/100。

錢珀瑙恩證明了<math>C_{10}</math>在十進制下為正規數<ref name=Cha33>{{harvnb|Champernowne|1933}}</ref>，Nakai和Shiokawa證明了更通用的定理：也就是<math>C_{b}</math>在b進制下都會正規數<ref name=Nak92>{{harvnb|Nakai|Shiokawa|1992}}</ref>。有關在<math>b \neq k</math>的條件下，<math>C_{k}</math>在b進制是否是正規數，這問題是還沒有答案的開放問題。例如，目前還不知道<math>C_{10}</math>在9進制下是否是正規數。例如<math>C_{10}</math>的前54位數是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9進制下表示為<math>{0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_9</math>。

{{link-en|Kurt Mahler|Kurt Mahler}}證明錢珀瑙恩數是[[超越數]]<ref name="mahler">K.&nbsp;Mahler, ''Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen'', Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. 40 (1937), p.&nbsp;421–428.</ref>。<math>C_{10}</math>的{{link-en|無理性度量|irrationality measure}}（表示用有理數近似此數字的困難程度）為<math>\mu(C_{10})=10</math>，而針對<math>b\ge 2</math>的進制<math>b</math>，<math>\mu(C_b)=b</math><ref>Masaaki Amou, ''[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X05800393 Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers] {{Wayback|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X05800393 |date=20240415224026 }}'', {{link-en|Journal of Number Theory|Journal of Number Theory}}, Volume 37, Issue 2, February 1991, Pages 231–241</ref>。

==相關條目==
*[[科普蘭—艾狄胥常數]]：另一個用[[質數]]定義的正規數。
*[[劉維爾數#劉維爾常數|劉維爾數]]：另一個用十進制定義的超越數。

== 參考資料==
{{reflist}}
== 文獻 ==
* {{cite book | last1=Cassaigne | first1=J. | last2=Nicolas | first2=F. | chapter=Factor complexity | pages=163–247 | editor1-last=Berthé | editor1-first=Valérie | editor2-last=Rigo | editor2-first=Michel | title=Combinatorics, automata, and number theory | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | volume=135 | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=2010 | isbn=978-0-521-51597-9 | zbl=1216.68204  }}
*{{citation
 | last = Champernowne | first = D. G. 
 | doi = 10.1112/jlms/s1-8.4.254
 | journal = Journal of the London Mathematical Society
 | pages = 254–260
 | title = The construction of decimals normal in the scale of ten
 | volume = 8
 | year = 1933
 | issue = 4}}.
*{{citation
 | last1 = Nakai | first1 = Y.
 | last2 = Shiokawa | first2 = I.
 | journal = Acta Arithmetica
 | pages = 271–284
 | title = Discrepancy estimates for a class of normal numbers
 | volume = 62
 | issue = 3
 | year = 1992| doi = 10.4064/aa-62-3-271-284
 | doi-access = free
 }}

==外部連結==
*{{MathWorld|urlname=ChampernowneConstant|title=Champernowne constant}}
*[http://www.matifutbol.com/docs/units/pencil.html The fantastic pencil and the Champernowne constant] {{Wayback|url=http://www.matifutbol.com/docs/units/pencil.html |date=20160304192312 }}

[[Category:數學常數]]
[[Category:数论]]
[[Category:实数超越数]]
[[Category:序列]]