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{{NoteTA|G1=物理學}}
'''金兹堡-朗道方程'''，或'''金兹堡-朗道理论'''，是由[[维塔利·金兹堡]]和[[列夫·朗道]]在1950年提出的一个描述[[超导]]现象的理论<ref name="GL">{{cite journal|author1=V. L. Ginzburg|author2=L. D. Landau|title=On the Theory of Superconductivity|journal=Zh. Eksp. Teor. Fiz.|date=1950|volume=20|pages=1064|doi=10.1016/B978-0-08-010586-4.50078-X|accessdate=2018-01-18}}</ref>。早期的金兹堡-朗道方程只是一个[[唯象理论|唯象]]的数学模型，从宏观的角度描述了[[第一类超导体]]。1957年，苏联物理学家[[阿列克谢·阿布里科索夫]]基于金兹堡-朗道理论提出了[[第二类超导体]]的概念<ref name="Abrikosov">{{cite journal|author1=A.A. Abrikosov|title=On the Magnetic Properties of Superconductors of the Second Group|journal=Zh.Eksp.Teor.Fiz.|date=1956-11|volume=32|pages=1442-1452|accessdate=2018-01-18}}</ref>。1959年，{{le|列夫·戈尔科夫|Lev Gor'kov}}结合[[BCS理论]]，从微观角度严格证明了金兹堡-朗道理论是BCS理论的一种极限情况<ref name="Gorkov">{{cite journal|author1=L.P. Gor'kov|title=Microscopic derivation of the Ginzburg-Landau equations in the theory of superconductivity|journal=Zh. Eksp. Teor. Fiz.|date=1959|volume=36|pages=1918-1923|url=http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_009_06_1364.pdf|accessdate=2018-01-18|archive-date=2018-11-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20181123102749/http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_009_06_1364.pdf|dead-url=no}}</ref>。为了表彰金兹堡和阿布里科索夫对超导理论的贡献，他们与研究[[超流]]理论的[[安东尼·莱格特]]共同获得了2003年的[[诺贝尔物理学奖]]。

== 理论 ==

金兹堡－朗道方程是由金兹堡和朗道在朗道的[[二级相变]]理论的基础上提出的<ref name="FundofMetal">{{cite book|author1=A.A. Abrikosov|coauthors=Beknazarov|title=Fundamentals of the theory of metals|date=1988|publisher=North-Holland|location=Amsterdam|isbn=0444870946|pages=589|url=https://books.google.com/books?id=SM02DwAAQBAJ|accessdate=2018-01-19}}</ref>。他们断言超导态可以通过一个[[复数 (数学)|复]][[序参量]]（complex order parameter）ψ('''r''') 来表征。这个形似[[波函数]]的序参量测量的是超导体在低于超导转变温度T<sub>c</sub>时的超导有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理论的框架中可以视为描述[[库柏对]]质量中心位置的单粒子波函数<ref name="AandM">{{cite book|author1=Neil W. Ashcroft|author2=N. David Mermin|title=Solid state physics|date=1977|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|isbn=0030839939|pages=747|edition=27. repr.|accessdate=2018-01-19}}</ref>。在临界相变点附近，超导体的[[自由能]]密度 <math>f</math> 可被展开为如下形式：

:<math>f = f_{n0} + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m^*} \left| \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{H^2}{8\pi}</math><ref name="Tinkham">{{cite book|last1=Tinkham|first1=Michael|title=Introduction to superconductivity|url=https://archive.org/details/introductiontosu0000tink_d8g1_2ed|date=2004|publisher=Dover Publications|location=Mineola, NY|isbn=0486435032|pages=[https://archive.org/details/introductiontosu0000tink_d8g1_2ed/page/n136 111]|edition=2nd ed.|accessdate=2018-01-19}}</ref>

若 <math>\psi = 0</math>，则上式化为常态下的自由能 <math>f_{n0} + \frac{h^2}{8\pi}</math>。<math>m^*</math>表示[[有效质量]]，<math>e^*</math>表示有效[[电荷]]，'''A''' 是[[磁矢势]]，<math>H</math>为[[磁場#B場與H場|磁场强度]]。在后续的实验中，人们发现 <math>e^* \approx 2\mathit{e}</math>（<math>\mathit{e}</math> 为[[基本电荷]]）。

当自由能取极小值时可得'''金兹堡-朗道方程'''：

{{Equation box 1 |indent =:|cellpadding = 0 |border = 1 |border colour = black |background colour = transparent
|equation =  <math> \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(\frac{\hbar}{i}\nabla - \frac{e^*}{c}\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0 </math>}}

由 <math>\mathbf{J} = \frac{c}{4\pi}\boldsymbol\nabla \times  \mathbf{H}</math>，可推导出[[电流密度]]
:<math> \mathbf{J} = \frac{e^*}{m^*} \left|\psi\right|^2 \left(\hbar\nabla\varphi - \frac{e^*}{c} \mathbf{A} \right)</math><ref name="Tinkham"/>

== 分析 ==
如果不考虑金兹堡－朗道方程中的磁场与梯度项，方程可化为：
:<math>f_s - f_n = \alpha |\psi|^2 + \frac{1}{2}\beta |\psi|^4</math><ref name="Tinkham"/>

由于 <math>\beta > 0</math> ，当 <math>\alpha > 0</math> 时，自由能的最小值出现在 <math>|\psi|^2 = 0</math>，对应着非超导的普通状态。当 <math>\alpha < 0</math> 时，自由能的最小值出现在 <math>|\psi|^2 = - \frac{\alpha} {\beta} = |\psi_{\infty}|^2</math>；之所以被记为 <math>|\psi_{\infty}|^2</math>，是因为 <math>\psi</math> 是在超导体内部“无穷深”处取得的这一函数值，“无穷深”意味着完全屏蔽了外表面的电磁场或电流。<ref name="Tinkham"/>

若已知 <math>e^* = 2\mathit{e}</math>，且 <math>m^* = 2m</math>，则可以计算出金兹堡－朗道方程中各个系数的表达式。使用经验方程进行估计可知：

:<math>|\psi|^2 \propto 1 - t^4 \approx 4(1 - t)</math>
:<math>\alpha \propto \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \approx (1 - t)</math>
:<math>\beta \propto \frac{1}{(1 + t^2)^2} \approx const</math>

其中 <math>t = T/T_c</math>。<ref name="Tinkham"/>

== 相干长度与穿透深度 ==
金兹堡-朗道方程预测了超导体中两个新的特征长度。

第一个叫做'''{{le|超导相干长度|superconducting coherence length}}'''''ξ''。对于''T'' > ''T<sub>c</sub>'' (一般相)，相干长度由以下方程给出：

:<math> \xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m |\alpha|}}. </math>

对于 ''T'' < ''T<sub>c</sub>'' (超导相)，相干长度由以下方程给出：

:<math> \xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4 m |\alpha|}}. </math>

第二个叫做'''穿透深度'''''λ''。这个概念最初是由伦敦兄弟在他们的[[伦敦方程|伦敦理论]]中提出的。如果使用金兹堡-朗道模型中的参数来表示，穿透深度可以写作：

:<math> \lambda = \sqrt{\frac{m}{4 \mu_0 e^2 \psi_0^2}}, </math>

其中''ψ<sub>0</sub>'' 表示在没有电磁场的条件下序参量的平衡值。外加磁场在超导体中的指数衰减可以通过穿透深度来定义。通过计算超导电子密度恢复到其平衡值''ψ<sub>0</sub>'' 时产生的微小扰动，我们可以确定这个指数衰减。磁场的指数衰减与高能物理中的[[希格斯机制]]是等价的。

朗道还定义了一个参数''κ''。''κ'' = <math> \lambda</math>/<math> \xi</math> 现今被称为'''金兹堡-朗道参数'''。朗道提出，[[第一类超导体]]应满足 0<''κ''<1/<math>\sqrt{2}</math>，而[[第二类超导体]]应满足''κ''>1/<math>\sqrt{2}</math>。如此一来，金兹堡-朗道理论通过定义这两个长度，就表征了所有的超导体。

==解析解==
金兹堡-朗道方程可化为以下形式的[[非线性偏微分方程]]：

<math>\frac{\partial u}{\partial t}-a \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-bu+c|u|^2u=0</math><ref>{{cite book|author1=Inna Shingareva|author2=Carlos Lizárraga-Celaya|title=Solving nonlinear partial differential equations with Maple and Mathematica|date=2011|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-3-7091-0516-0|page=28|url=https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-7091-0517-7|accessdate=2018-01-19|archive-date=2020-08-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20200825231203/https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-7091-0517-7|dead-url=no}}</ref>

其中<math>u(x,t)</math>是一个复值函数，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c为复常数，b∈ℝ。若假设a、b、c都是正实数，则金兹堡-朗道方程有下列行波解：

:<math>sol[1] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c</math>
:<math>sol[2] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*coth(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c</math>
:<math>sol[3] := u = -(1/2*I)*b/\sqrt(-c*b)-(1/2)*\sqrt(-c*b)*tan(_C1+(1/4)*\sqrt(-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c</math>
:<math>sol[4] := u = -(1/2)*b/\sqrt(c*b)+(1/2)*\sqrt(c*b)*tanh(_C1+(1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c</math>
:<math>sol[5] :=\frac{ -\sqrt(3)*exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*\sqrt(3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*\sqrt(3)*x+(9/4)*t))}</math>


部分解析解的行为如下所示：


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}}

== 相关条目 ==
* {{le|朗道理论|Landau theory}}
* [[磁畴]]
* {{le|畴壁|Domain wall (magnetism)}}
* {{le|磁通钉扎|Flux pinning}}
* [[磁通量量子]]
* {{le|量子涡旋|Quantum vortex}}
* [[格罗斯–皮塔耶夫斯基方程]]
* [[反应-扩散系统]]
* [[塞伯格-维腾理论]]
* [[拓扑缺陷]]

==参考文献==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
=== 超导理论相关 ===
* 阿布里科索夫2003年的诺贝尔奖讲座：[http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture.pdf pdf] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture.pdf |date=20170810010358 }} 或 [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture.html 视频] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture.html |date=20170715232951 }}
* 金兹堡2003年的诺贝尔奖讲座：[http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg-lecture.pdf pdf] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg-lecture.pdf |date=20170519162602 }} 或 [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg-lecture.html 视频] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg-lecture.html |date=20180704124843 }}
* {{cite book|author1=Neil W. Ashcroft|author2=N. David Mermin|title=Solid state physics|date=1977|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|isbn=0030839939|pages=747|edition=27. repr.|url=http://www.vijaygarhjrcollege.com/documents/Study%20Material_Solid%20State%20Physics-%20Ashcroft%20and%20Mermin.pdf|access-date=2018-01-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180120065916/http://www.vijaygarhjrcollege.com/documents/Study%20Material_Solid%20State%20Physics-%20Ashcroft%20and%20Mermin.pdf|archive-date=2018-01-20|dead-url=yes}}
* {{cite book|last1=Tinkham|first1=Michael|title=Introduction to superconductivity|date=2004|publisher=Dover Publications|location=Mineola, NY|isbn=0486435032|pages=110|edition=2nd ed.|url=http://www.physics.fudan.edu.cn/tps/people/jzhao/Book%26Paper/Introduction%20to%20superconductivity.pdf|access-date=2018-01-19|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502040638/http://www.physics.fudan.edu.cn/tps/people/jzhao/Book%26Paper/Introduction%20to%20superconductivity.pdf|dead-url=no}}
* {{cite book|author1=A.A. Abrikosov|coauthors=Beknazarov|title=Fundamentals of the theory of metals|date=1988|publisher=North-Holland|location=Amsterdam|isbn=0444870946|url=https://books.google.com/books?id=SM02DwAAQBAJ}}

=== 偏微分方程相关 ===
# 谷超豪 《[[孤立子]]理论中的[[达布变换]]及其几何应用》 上海科学技术出版社
# 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
# 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
# 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
# 何青 王丽芬编著 《[[Maple]] 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
# Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
# Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
# Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
# Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
# Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
# Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
# David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
# George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

{{非线性偏微分方程}}

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[[Category:低温物理学]]
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[[Category:非线性偏微分方程]]
[[category:孤立子]]