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{{noteTA
|G1=物理學
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{{量子力学}}
在[[量子力學]]之中，所謂的「[[測量]]」需要有較嚴謹的定義，而特別稱之為'''量子測量'''。量子测量不同于一般经典力学中的测量，量子测量会对被测量子系统产生影响，比如改变被测量子系统的状态；处于相同状态的量子系统被测量后可能得到完全不同的结果，这些结果符合一定的概率分布。量子测量是[[量子力学诠释|量子力学解释体系]]的核心问题，而量子力学的解释目前还没有统一的结论。

== 量子測量的數學形式 ==
与经典物理中的测量不同，量子测量不是独立于所观测的物理系统而单独存在的，相反，测量本身即是物理系统的一部分，所作的测量会对系统的状态产生干扰。

=== 一般形式：量子公设III ===
[[量子公设]]的第三条是对测量下的定义。量子测量可以通过一个测量算符的集合<math> \{ M_m \} </math>来表示，它作用在系统的[[希尔伯特空间|状态空间]]上。测量算符<math>M</math>的序列号<math>m</math>表示测量所得出的不同结果。如果系统在测量前处于状态<math>|\psi \rang</math>，那么测量后得到结果m的概率是：
:<math> p( m ) = \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang</math>
测量后系统的状态变为：
:<math> \frac{ M_m| \psi \rang } {\sqrt{\lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang} }</math>
测量算符必须满足以下的完备性条件：
:<math> \sum_m M^\dagger_mM_m = I</math>
上述完备性条件与下式等价，即完备性条件决定了测量得到各个结果的概率和为1：
:<math> 1 = \sum_m p_m = \sum_m \lang \psi | M^\dagger_mM_m | \psi \rang</math>

=== 射影测量 ===
射影测量（projective measurement）是一般形式量子测量的一个特例，即测量算子集合是一组射影算子<math>\{P_m\}</math>的情况，值得注意的是很多介绍量子力学的书比如{{harvtxt|Griffiths|2005}}只介绍射影测量，这种测量结合量子系统的演化（evolution）与一般形式测量等价。对于射影测量，可以定义'''可观测量'''（observable）<math>M</math>使得
:<math>M=\sum_{m}mP_m</math>
其中的射影算子<math>P_m</math>的定义为：
:<math>P\equiv\sum_{i=1}^{k}|i\rangle\langle i|</math>
<math>\{|i\rangle\}</math>构成被测量子系统状态空间的某个子空间<math>W</math>的一组基向量，射影算子<math>P</math>可以将一个状态向量投影到该子空间<math>W</math>，因此得名射影算子。显然射影算子有以下性质：
:<math>P_{m}^{\dagger}P_m=P_m^2=P_m</math>
于是射影测量测得结果<math>m</math>的概率为：
:<math>p(m)=\langle \psi | P_{m} |\psi \rangle</math>
测量后量子系统的状态为
:<math>|\psi^{'}\rangle=\frac{P_m|\psi \rangle} {\sqrt{p(m)}}</math>
射影测量的结果的平均值一般计为：
:<math>\begin{align}
\langle M\rangle &= \sum_m mp(m)\\
&=\langle \psi |(\sum_m m P_m )|\psi \rangle\\
&=\langle \psi | M |\psi \rangle
\end{align}</math>

=== 示例 ===
一个[[量子位元|量子比特]]<math>|\psi \rangle = a|0\rangle + b |1 \rang </math>被<math> \{ M_m \} = \{ M_0, M_1 \}</math>测量，所谓量子比特可以认为是一个二维量子系统的状态，比如一个{{Link-en|光子的极化状态|Photon polarization}}。
:<math> M_0 = |0 \rang \lang 0|; M^\dagger_0M_0 = M_0</math>
:<math> M_1 = |1 \rang \lang 1|; M^\dagger_1M_1 = M_1</math>
:<math> I = |0 \rang \lang 0| + |1 \rang \lang 1| = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}</math>
:<math> p( 0 ) = \lang \psi | M^\dagger_0M_0 | \psi \rang
 = \lang \psi | M_0 | \psi \rang
 = \lang \psi | 0 \rang \lang 0 | \psi \rang
 = |a|^2</math>
:<math> p( 1 ) = |b|^2</math>
测量得到0和1的概率分别是<math>|a|^2</math>和<math>|b|^2</math>，而
:<math>1=\langle \psi|\psi\rangle = |a|^2+|b|^2</math>
即概率和为1
:<math> \frac{ M_0| \psi \rangle }{|a|} = \frac{a}{|a|} | 0 \rangle </math>
:<math> \frac{ M_1| \psi \rangle }{|b|} = \frac{b}{|b|} | 1 \rangle </math>
可以发现测量后，系统的状态要么变成<math>\frac{a}{|a|}|0\rangle</math>要么变成<math>\frac{b}{|b|}|1\rangle</math>，而对于量子力学来说，量子状态的相位是没有意义的，因而系统的状态在测量之后不是<math>|0\rangle</math>就是<math>|1\rangle</math>，即投影到了基向量<math>|0\rangle</math>或<math>|1\rangle</math>构成的状态空间中去，显然<math>{|0\rangle}</math>或<math>|1\rangle</math>只能构成一个一维状态空间。

一般来讲测量不是[[幺正算符]]，而是从系统里获取信息的一个过程。

=== 可測量的量值（「物理量」）作為算符 ===
量子力學中，[[可觀測量]]在數學上常以[[厄米算符]]（Hermitian）或[[自伴算符]]來表示。此算符的[[本徵值]]集合代表測量可能結果的集合。對於每個本徵值而言，存在有一個對應的本徵態（或本徵向量），其為系統在測量之後的狀態。這種表徵具有一些特質：
# 厄米矩陣的本徵值是[[實數]]。一個測量的可能結果恰好是給定的可觀測量的本徵值。
# 一個厄米矩陣可以么正式地[[對角矩陣|對角化]]（''參見[[譜定理]]（Spectral theorem）''），產生了本徵向量的一組[[正交歸一性|正交歸一基]]，可以架構出系統的態空間。一般來說，系統的狀態可以寫為任何厄米算符的[[線性組合]]。如此在物理上的意義即為任何狀態可以表示為一可觀測量其本徵態的疊加。

重要的例子有：
* [[哈密頓算符]]，代表系統的[[總能|總能量]]；非相對論性的特例為：<math> {\hat H} = {\hat p^2 \over 2m} + V( \hat x )  </math>.
* [[動量算符]]：<math> {\hat p} = {\hbar \over i}{\partial \over \partial x}  </math>（以位置基底表示。）
* [[位置算符]]：<math> {\hat x} = {-\hbar \over i}{\partial \over \partial p}  </math>（以動量基底表示。）

算符可以是[[非對易性]]（或稱非交換性）的。在有限維度的例子，如果兩個厄米算符擁有相同的[[歸一化]]的本徵向量集合，則它們可以對易。非對易的兩個可觀測量被稱為「不相容」（incompatible）而無法同時測量。比較知名的例子是位置與動量，也可以透過[[不確定原理|海森堡不確定原理]]來描述。

=== 本徵態與投影 ===
=== 波函數坍縮 ===
=== 馮·諾伊曼式測量方案 ===
=== 舉例 ===

== 量子測量的哲學議題 ==
=== 什麼樣的物理交互作用構成測量？ ===
在[[量子去相干]]於二十世紀末出現之前，量子力學及[[哥本哈根詮釋]]一直存在一個重大的觀念性問題。那就是沒有一個明確的準則來判別怎樣的物理交互作用屬於「測量」並且會造成波函數崩潰。[[薛丁格的貓]]即是最好的例子。現在，對於[[弱測量]]的了解以及什麼程度的交互作用或測量足以摧毀量子相干性有了定量的分析，因此在量子去相干理論的架構下，一些問題已經可以被理解。但對於構成測量的一些面向，物理學家仍然沒有一致的認同。

=== 測量是否真的決定狀態？ ===
測量是否決定一個狀態在不同的量子詮釋下有不同的答案。(這也與對波函數崩潰的理解有很大的關聯。)舉例來說，在[[哥本哈根詮釋]]大多數的版本中，測量會決定一個系統的狀態，並且在測量後系統的態一定是測量中得到的。但根據[[多世界詮釋]]，測量在不同的世界有不同的結果，所以測量後其他的可能狀態仍然存於不同的世界中。

=== 測量過程是隨機的或是決定性的？ ===
一般一致認為量子力學的測量顯現出隨機的特性，但這究竟是本質上的隨機，或只是看似隨機，則仍然沒有定論。<ref name="Quantum mechanics: Myths and facts">{{cite journal|title=Quantum mechanics: Myths and facts |author=Hrvoje Nikolić |year=2007 |journal=Foundation of Physics |volume=37|pages= 1563–1611 |doi=10.1007/s10701-007-9176-y|arxiv = quant-ph/0609163 |bibcode = 2007FoPh...37.1563N }}</ref>量子力學背後可能存在[[隱變數理論]]，以決定性的方式，在特定的安排方式下，使實驗結果看似隨機。隱變數理論如果存在，將會是「非定域性的」。這仍是熱門的研究領域之一。<ref>{{cite journal| author=S. Gröblacher ''et al.'' |title=An experimental test of non-local realism |journal= Nature |volume=446 |issue= 871 |year=2007 |doi=10.1038/nature05677|arxiv = 0704.2529 |bibcode = 2007Natur.446..871G |pmid=17443179 |pages=871–5}}</ref>

=== 測量過程是否違反定域性原理? ===
定域性原理要求任何資訊皆不能以超越[[光速]]的速度傳遞(詳見[[狹義相對論]])。實驗上我們知道，如果量子力學是決定性的(藉由[[隱變數理論]])，那麼它必須是非定域性的，因此違反定域性原理(詳見[[貝爾定理]]、[[EPR佯謬]])。然而，物理學家對於量子力學是非決定性、非定域性或著兩者皆是，仍然沒有定論。<ref name="Quantum mechanics: Myths and facts"/>

=== 量子糾纏（Quantum Entanglement）問題 ===

== 參見 ==
* [[環境誘導超選擇]]
* 測量相關問題與[[佯謬]]
** [[莫特問題]]
** [[波函數坍縮]]
** [[伊利澤-威德曼炸彈測試問題]]
* 量子力學形式
** [[狄拉克標記]]

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
*{{cite isbn|9781107002173}}
*{{cite isbn|9780131118928|ref=harv}}
{{refend}}
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* [[史丹福大學]]哲學資料庫——[http://plato.stanford.edu/entries/qt-measurement/ 量子理論中的測量] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/qt-measurement/ |date=20210508111958 }}

{{-}}
{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:量子測量|*]]
[[Category:物理学哲学]]