查看“︁量子数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=物理學
}}
{{量子力学}}
'''量子數'''描述[[量子力學|量子系統]]中動力學上各守恆數的值。它們通常按性質描述[[原子]]中[[電子]]的各[[能量]]，但也會描述其他物理量（如[[角動量]]、[[自旋]]等）。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數，列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作。

== 有多少個量子數？ ==
「要多少個量子數才能描述任何已知系統？」這道問題並沒有一致的答案，儘管要解決每一個系統都必須要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子[[哈密頓算符]]，'''H'''，所描述。系統中有一量子數對應能量，即哈密頓算符的[[特徵值]]。對每一個算符'''O'''而言，還有一個量子數可與哈密頓算符交換（即滿足'''OH&nbsp;=&nbsp;HO'''這條關係式）。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符'''O'''應互相獨立。很多時候，能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此，在不同的條件下，可使用不同的量子數組來描述同一個系統。

== 原子內的單個電子 ==
{{Main|類氫原子|波耳原子|薛定諤方程|狄拉克方程}}

最被廣為研究的量子數組是用於一[[原子]]的單個[[電子]]：不只是因為它在[[化學]]中有用（它是[[週期表]]、[[化合價]]及其他一系列特性的基本概念），還因為它是一個可解的真實問題，故廣為教科書所採用。

在非相對論性[[量子力學]]中，這個系統的哈密頓算符由電子的[[動能]]及[[勢能]]（由電子及原子核間的[[庫侖定律|庫侖力]]所產生）。動能可被分成，有環繞[[原子核]]的電子[[角動量]]，'''J'''的一份，及餘下的一份。由於勢能是球狀對稱的關係，其完整的哈密頓算符能與'''J'''<sup>2</sup>交換。而'''J'''<sup>2</sup>本身能與角動量的任一分量（按慣例使用'''J'''<sub>z</sub>）交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符，所以會有三個量子數。

依慣例，它們被稱為：
* [[主量子數]]（<math>n=1,2,3,4...</math>，即電子軌域<math>K,L,M,N</math>）代表除掉'''J'''<sup>2</sup>以後'''H'''的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離（即半徑座標'''r'''）而定。平均距離會隨着'''n'''增大，因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
* [[角量子數]]（<math>\ell=0,1,2...n-1</math>，又稱'''方位角量子數'''或'''軌道量子數'''）通過關係式<math>L^2 = \hbar^2 \ell(\ell+1)</math>來代表軌道角動量。在化學中，這個量子數是非常重要的，因為它表明了一軌道的形狀，並對[[化學鍵]]及[[鍵角]]有重大影響。有些時候，不同角量子數的軌域有不同代號，<math>\ell=0</math>的軌域叫s軌域，<math>\ell=1</math>的叫p軌域，<math>\ell=2</math>的叫d軌域，而<math>\ell=3</math>的則叫f軌域。
* [[磁量子數]]（<math>m_{\ell}=-\ell...0,1,2...(\ell-1),\ell</math>）代表[[特徵值]]，<math>L_z = m_{\ell} \hbar </math><ref>{{cite book|author=Arthur Beiser, Kok Wai Cheah|title=''Concepts of modern physics''|year=2015|publisher=[[麥格羅-希爾集團]]|isbn=9789814595261|pages=第229頁}}</ref>。這是軌道[[角動量]]沿某指定軸的投影。

從[[光譜學]]中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態（[[泡利不相容原理]]），故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題，就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。

*[[自旋量子數]]（<math>m_s=\pm \frac{1}{2}</math>）代表電子的固有[[角動量]]。這是[[自旋]]<math>s=\frac{1}{2}</math>沿某指定軸的射影。
作為摘要，一電子的量子態視下列各量子數而定：
{| class="wikitable"
! 名稱 !! 符號 !! 軌道意義 !! 取值範圍 !! 取值例子
|-
| 主量子數 || <math>n \ </math> || 殼層 || <math>1 \le n \,\!</math> || <math>n=1,2,3...\,\!</math>
|-
| 角量子數（[[角動量]]）|| <math>\ell \ </math> || 次殼層 || <math>0 \le \ell \le n-1 \ </math> || 若<font style="vertical-align:+15%;"><math>n=3\,\!</math></font>: <br /> <math>\ell=0,1,2\,(s, p, d) \ </math> 
|-
| 磁量子數（[[角動量]]之射影）|| <math>m_\ell \ </math> || 能移 || <math>-\ell \le m_\ell \le \ell \ </math> || 若<font style="vertical-align:+15%;"><math>\ell=2 \ </math></font>: <br /> <math>m_\ell=-2,-1,0,1,2\,\!</math> 
|-
| 自旋量子數 || <math>m_s\,\!</math> || 自旋 || <math>- \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ </math> || 只能是<math>- \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} , \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ </math> 
|}

例：用於描述[[氟]]（<chem>F</chem>）原子最外層電子（即[[價電子]]，位於[[原子軌道]]2p）的各量子數值為：<math>n=2</math>，<math>\ell=1</math>，<math>m_{\ell}=-1,0,1</math>，<math>m_s=\pm \frac{1}{2}</math>。

簡而言之，以上的物理量需要滿足<math>n> \ell \ge |m_{\ell}|</math>且<math>m_s= \pm \frac{1}{2}</math>。

注意[[分子軌道]]需要使用完全不同的量子數組，因為其[[哈密頓算符]]及對稱跟上述相當不同。

== 適用於自旋－軌道交互作用的量子數 ==
{{Main|克里布希－戈登係數}}

當考慮到[[自旋-軌道作用]]時，l、m及s就再不能與[[哈密頓算符]][[交換律|交換]]，因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組[[量子數]]。這組包括了
*[[總角動量量子數]]（j=1/2，3/2 … n-1/2）通過關係式<math>J^2 = \hbar^2 j(j+1)</math>代表着總[[角動量]]。
*[[次要總角動量量子數|總角動量沿某指定軸的投影]]（m<sub>j</sub>=-j，-j+1 … j-1，j），此數與m類似，且滿足關係式<math>m_j = m_l + m_s</math>。
*[[宇稱]]。它是經反射所得的[[特徵值]]，當態之l為偶數時其值為正（即+1），奇數時其值為負（即-1）。前者亦被稱為'''偶宇稱'''，後者則為'''奇宇稱'''。

例：考慮以下八個態，定義它們的量子數：
# l = 1，m<sub>l</sub> = 1，m<sub>s</sub> = +1/2
# l = 1，m<sub>l</sub> = 1，m<sub>s</sub> = -1/2
# l = 1，m<sub>l</sub> = 0，m<sub>s</sub> = +1/2
# l = 1，m<sub>l</sub> = 0，m<sub>s</sub> = -1/2
# l = 1，m<sub>l</sub> = -1，m<sub>s</sub> = +1/2
# l = 1，m<sub>l</sub> = -1，m<sub>s</sub> = -1/2
# l = 0，m<sub>l</sub> = 0，m<sub>s</sub> = +1/2
# l = 0，m<sub>l</sub> = 0，m<sub>s</sub> = -1/2

系統的[[量子態]]能被這八個態的線性組合所描述。但由於[[自旋-軌道作用]]的關係，如欲使用八個由[[哈密頓算符]]的[[特徵向量]]（即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合）所組成的態來描述同一個系統，應考慮以下這八個態：
# j = 3/2， m<sub>j</sub> = 3/2，奇宇稱 （從上態1得）
# j = 3/2， m<sub>j</sub> = 1/2，奇宇稱 （從上態2及3得）
# j = 3/2， m<sub>j</sub> = -1/2，奇宇稱 （從上態4及5得）
# j = 3/2， m<sub>j</sub> = -3/2，奇宇稱 （從上態6得）
# j = 1/2， m<sub>j</sub> = 1/2，奇宇稱 （從上態2及3得）
# j = 1/2， m<sub>j</sub> = -1/2，奇宇稱 （從上態4及5得）
# j = 1/2， m<sub>j</sub> = 1/2，偶宇稱 （從上態7得）
# j = 1/2， m<sub>j</sub> = -1/2，偶宇稱 （從上態8得）

== 基本粒子 ==
{{Main|標準模型理論|味 (粒子物理學)}}
基本粒子包含不少量子數，一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是[[粒子物理學]]上[[標準模型理論|標準模型]]的量子態，所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣，就像[[波耳原子]]量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說，每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在[[量子場論|場論]]中有着更大的用處，被用於識別[[時空]]及[[內]]對稱。

一般跟[[時空對稱]]有關係的量子數有[[自旋]]（跟旋轉對稱有關）、[[宇稱]]、[[C-宇稱]]、[[T-宇稱]]（跟時空上的[[龐加萊對稱]]有關係）。一般的內對稱有[[輕子數]]、[[重子數]]及[[電荷|電荷數]]。條目[[味 (粒子物理學)|味]]有這些量子數的更詳細列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恒量子數都是可相加的。故此，在一基本粒子反應中，反應前後的量子數總和應相等。然而，某些量子數（一般被稱為宇稱）是可相乘的；即它們的積是守恒的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱（像守恒那樣），而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫'''Z'''<sub>2</sub>的抽象[[群]]。

== 参考連結 ==
<references />
=== 基本原理 ===
* {{lang|en|{{cite book en |author=Dirac, Paul A.M. |authorlink=保羅·狄拉克 |title = Principles of quantum mechanics |url=https://archive.org/details/principlesofquan0000unse_i1n0 |publisher=Oxford University Press |year=1982 |ISBN = 0-19-852011-5}}}}

=== 原子物理 ===
* [http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/quantum.html 量子數與電子排佈] {{Wayback|url=http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/quantum.html |date=20210422011001 }}{{en}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/qunoh.html 氫原子的量子數] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/qunoh.html |date=20210430032459 }}{{en}}

=== 粒子物理 ===
* {{lang|en|{{cite book en |author=Griffiths, David J. |title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) |publisher=Prentice Hall |year=2004 |ISBN = 0-13-805326-X}}}}
* {{lang|en|{{cite book en |author=Halzen, Francis and Martin, Alan D. |title=QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics |url=https://archive.org/details/quarksleptonsint0000halz |publisher=John Wiley & Sons |year=1984 |ISBN = 0-471-88741-2}}}}
* [http://pdg.lbl.gov/ 粒子數據小組] {{Wayback|url=http://pdg.lbl.gov/ |date=20170907205728 }}{{en}}

[[Category:量子數| ]]
[[Category:量子力學|L]]
[[Category:基本物理概念|L]]