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{{NoteTA|G1=物理學}}
{{量子力学}}
[[File:Stern-Gerlach experiment zh.png|thumb|250px|設定[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋<math>\left\vert \uparrow \right\rangle</math>或下旋<math>\left\vert \downarrow \right\rangle</math>。<ref name=Sakurai>{{Citation  | last1 = Sakurai  | first1 = J. J.  |last2 = Napolitano  | first2 = Jim  | title = Modern Quantum Mechanics  | edition = 2nd  | publisher = Addison-Wesley  | year = 2010 | isbn =978-0805382914  }}</ref>{{rp|1-4}}]]
在[[量子力學]]裏，'''量子態'''（{{lang-en|quantum state}}）指的是量子系統的狀態。[[態向量]]可以用來抽象地表示量子態。<ref name=Griffiths2004/>{{rp|93-96}}採用[[狄拉克標記]]，態向量表示為[[狄拉克標記|右矢]]<math>\left\vert \psi \right\rangle</math>；其中，在符號內部的希臘字母<math>\psi</math>可以是任何符號，字母，數字，或單字。例如，在計算[[氫原子]][[發射光譜|能譜]]時，能級與[[主量子數]]<math>n</math>有關，所以，每個量子態的態向量可以表示為<math>\left\vert n \right\rangle</math>。

一般而言，量子態可以是[[純態]]或[[混合態]]。上述案例是純態。混合態是由很多純態組成的機率混合。不同的組合可能會組成同樣的混合態。當量子態是混合態時，可以用[[密度矩陣]]做數學描述，這密度矩陣實際給出的是[[機率]]，不是[[密度]]。純態也可以用密度矩陣表示。

哥本哈根詮釋以[[操作定義]]的方法對量子態做定義：量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。<ref name=Laloe>{{citation |last=Laloe| first=Franck|title=Do We Really Understand Quantum Mechanics| publisher=Cambridge University Press|year=2012| isbn = 978-1-107-02501-1}}</ref>{{rp|15-16}}例如，使用z-軸方向的[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器，如右圖所示，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量<math>S_z</math>分裂成兩道，一道的<math>S_z</math>為上旋，量子態為<math>\left\vert \uparrow \right\rangle</math>或<math>\left\vert z+ \right\rangle</math>，另一道的<math>S_z</math>為下旋，量子態為<math>\left\vert \downarrow \right\rangle</math>或<math>\left\vert z- \right\rangle</math>，這樣，可以製備成量子態為<math>\left\vert \uparrow \right\rangle</math>的銀原子束，或量子態為<math>\left\vert \downarrow \right\rangle</math>的銀原子束。<ref name=Sakurai/>{{rp|1-4}}銀原子自旋態向量存在於二維希爾伯特空間。對於這純態案例，相關的態向量<math>\left\vert \psi \right\rangle=\alpha\left\vert \uparrow \right\rangle+\beta\left\vert \downarrow \right\rangle</math>是二維複值向量<math>(\alpha, \beta)</math>，長度為1：
:<math>|\alpha|^2+|\beta|^2=1</math>。

在測量一個量子系統之前，量子理論通常只給出測量結果的機率分佈，這機率分佈的形式完全由量子態、相關的[[可觀察量]]來決定。對於純態或混合態，都可以從密度矩陣計算出這機率分佈。<!--在量子力學裏，與經典力學不同，能夠確定性地給出所有性質的量子態絕對不可能被成功製備，這是為了要遵守[[不確定性原理]]，這反應出經典力學與量子力學的核心差別。儘管如此，在量子力學裏，對應於任意可觀察量，擁有其確定數值的量子態必定存在。<ref name=Ballentine1970>{{citation | last =Ballentine | first =L. E. | title =The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics | journal =Reviews of Modern Physics  | volume =42 | pages =358–381 | year =1970 | url =http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.42.358 | doi =10.1103/RevModPhys.42.358
}}</ref>-->

另外，還有很多種不同的量子力學詮釋。根據[[科學實在論|實在論詮釋]]，一個量子系統的量子態完整描述了這個量子系統。量子態囊括了所有關於這系統的描述。[[實證主義|實證詮釋]]闡明，量子態只與對於量子系統做觀察所得到的實驗數據有關。<ref name=Laloe/>{{rp|15}}按照[[系綜詮釋]]，量子態代表一個[[系綜]]的在同樣狀況下製備而成的量子系統，它不適用於單獨量子系統。<ref name=Laloe/>{{rp|220}}

== 概述 ==
[[File:Hydrogen Density Plots.png|thumb|450px|在不同量子态氢原子的电子[[機率密度函數|概率密度]]。]]

=== 經典力學的狀態 ===
設想在某經典系統裏，有一個粒子移動於一維空間，在[[時間]]<math>t=0</math>，粒子的[[位置]]<math>q</math>是<math>q_0</math>，[[動量]]<math>p</math>是<math>p_0</math>。這些[[初始條件]]設定了這系統在時間<math>t=0</math>的狀態<math>\sigma_0</math>。經典力學具有[[決定論|決定性]]，若知道粒子的初始條件與作用於粒子的外力，則可決定粒子的運動行為。

在實驗方面，製備經典系統在時間<math>t=0</math>的狀態<math>\sigma_0</math>。稍後，在時間<math>t>0</math>，若想知道這系統的物理狀態<math>\sigma(t) </math>，可以測量這粒子的運動參數，即位置<math>q(t)</math>與動量<math>p(t)</math>。其它物理量，像[[加速度]]、[[動能]]等等，都是這兩個物理量的[[函數]]。

在理論方面，假設經典系統在<math>t=0</math>的狀態是<math>\sigma_0</math>，則應用[[牛頓運動定律]]，即可計算出這系統在任何時間<math>t>0</math>的可觀察量數值。這些數值應該符合實驗測量的結果。標記這些數值為<math>p(t)</math>與<math>q(t)</math>。例如，假設粒子以等速移動，則
:<math>p(t) = p_0</math>、
:<math>q(t) = p_0 t/m+q_0</math>；

其中，<math>m</math>是粒子質量。

=== 量子力學的量子態 ===
實驗的過程可以按照先後順序細分為製備與測量兩個步驟。在[[統計實驗]]（statistical experiment）裏，雖然以同樣的方法製備多個物理系統，然後以同樣的方法進行測量，仍舊不能可靠地獲得出同樣的結果，但是，假若經過很多次重複地製備與測量，則會發覺，同樣結果的出現頻率會收斂至某固定值。量子力學也具有類似特性，雖然每一次測量能夠很準確地獲得粒子運動地數據，但不能準確預測對於可觀察量做單次測量而獲得的結果，只能夠給出各種可能獲得的結果與獲得這結果的機率分佈，這是因為製備步驟必須遵守[[不確定性原理]]。<ref name=Ballentine>{{cite book
 | last =Ballentine
 | first =Leslie
 | title =Quantum Mechanics: A Modern Development
 | url =https://archive.org/details/quantummechanics0000lesl
 | publisher =World Scientific
 | edition =2nd, illustrated, reprint
 | date =1998
 | isbn =9789810241056}}
</ref>{{rp|44-45}}

在量子系統裏，量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用z-軸方向的[[斯特恩-革拉赫實驗]]儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量<math>S_z</math>分裂成兩道，一道的<math>S_z</math>為上旋，量子態為<math>\left\vert \uparrow \right\rangle</math>或<math>\left\vert z+ \right\rangle</math>，另一道的<math>S_z</math>為下旋，量子態為<math>\left\vert \downarrow \right\rangle</math>或<math>\left\vert z- \right\rangle</math>。又例如，假若等待足夠長久時間，就可以使得量子系統衰變至[[基態]]，前提是從[[激發態]]只能朝著無窮遠發射出能量，永遠不會反射回來。這樣，就可以製備出基態。<ref name=Ballentine/>{{rp|206-209}}再照射適當頻率的激光，則可製備出指定的激發態。

在實驗方面，量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次實驗的測量結果通常不會一樣，只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值，才是可複製的數值。假設，在每次實驗裏，在時間<math>t=0</math>，量子系統的量子態為<math>\left\vert \sigma_0 \right\rangle</math>。稍後，在時間<math>t>0</math>，測量這粒子在各個量子系統的可觀察量<math>q(t)</math>或<math>p(t)</math>，則能獲得在時間<math>t>0</math>這些可觀察量的統計平均值。特別注意，對於這兩種可觀察量並不是一起進行測量，而是獨立分開進行測量。更詳細地說，重複地做很多次同樣的實驗，測量可觀察量<math>q(t)</math>。由於這可觀察量是[[隨機變量]]，所以無法可靠地複製同樣結果。但是，假若重複次數足夠多（概念而言，無窮多），則能獲得在時間<math>t>0</math>這可觀察量<math>q(t)</math>的統計平均值。類似地，重複地做很多次同樣的實驗，測量可觀察量<math>p(t)</math>，也能獲得在時間<math>t>0</math>這可觀察量<math>p(t)</math>的統計平均值。

在理論方面，假設量子系統在<math>t=0</math>的量子態是<math>\left\vert \sigma_0 \right\rangle</math>，應用[[埃倫費斯特定理]]，可以計算出可觀察量在任何時間<math>t>0</math>的[[期望值]]。這期望值應該完全符合實驗獲得的統計平均值。標記這些期望值為<math>\lang q(t) \rang</math>、<math>\lang p(t) \rang</math>。假設沒有任何外力作用於自由移動的粒子，則
:<math>\lang p(t) \rang= \lang p(0) \rang</math>、
:<math>\lang q(t) \rang = \lang p(0) \rang t/m+\lang q(0) \rang</math>。

位置的期望值與動量的期望值表現出類似經典力學的運動行為。在量子力學裏，量子態可以預測所有測量可觀察量的實驗統計結果。

=== 薛丁格繪景與海森堡繪景 ===
量子系統的每一種可觀察量都有其對應的[[算符 (物理學)|量子算符]]。將這量子算符作用於量子態，可以詮釋為測量其量子系統的可觀察量。在前一節量子力學論述裏，量子算符<math>q(t)</math>，<math>p(t)</math>被設定為與時間有關，而量子態則在初始時間<math>t=0</math>就被固定為<math>|\sigma_0\rang</math>，與時間無關。這種理論方法稱為[[海森堡繪景]]。另一種稱為[[薛丁格繪景]]的理論方法設定量子算符與時間無關，又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面，這兩種繪景等價，推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛丁格繪景，通過生動活潑的量子態，學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨著時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像[[對稱性]]或[[守恆定律]]的基礎論題領域，例如[[量子場論]]，或者研究超大[[自由度]]系統的學術，例如[[統計力學]]。<ref name=Gottfried>{{cite book
 | last1 =Gottfried
 | first1 =Kurt
 | last2 =Yan
 | first2 =Tung-Mow
 | title =Quantum Mechanics: Fundamentals
 | url =https://archive.org/details/quantummechanics0000gott_j7e1
 | publisher =Springer
 | edition =2nd, illustrated
 | date =2003
 | pages =pp. 65
 | isbn =9780387955766
}}</ref>

== 量子力學形式論 ==
{{main|量子力學的數學表述}}
量子物理通常使用[[線性代數]]來做數學表述。每一種量子系統都有其對應的[[希爾伯特空間]]，其量子態都可以用對應的希爾伯特空間裏的向量來表現，這向量稱為[[態向量]]。假若，某態向量是另外一個態向量的純量倍數，則這兩個態向量都對應於同樣的量子態。因此，態向量的[[範數]]不具有物理意義，只有方向具有物理意義。

假若將態向量[[歸一化]]，所有態向量的[[範數]]都等於1，則所有態向量的集合是希爾伯特空間的[[單位球]]。假若，兩個歸一化態向量的唯一不同之處是它們的[[相位因子]]，則這兩個態向量代表同樣的量子態。

=== 狄拉克標記 ===
{{main|狄拉克標記}}
在量子力學裏，數學運算時常用到[[線性算符]]、[[內積]]、[[對偶空間]]與[[厄米共軛]]等概念。為了讓運算更加簡易、更加抽象，為了讓使用者不需要選擇表現空間，[[保羅·狄拉克]]發明了[[狄拉克標記]]。這種標記法能夠精準地表示各種各樣的量子態與其相關運算，簡略表述如下：
* 向量的標記形式為<math>|\psi\rangle</math>；其中<math>\psi</math>可以是任何符號，字母，數字，或單字。這與一般的數學標記形式顯然地不同；通常，向量是以粗體字母，或者在上方加了一個矢號的字母來標記。
* 稱向量為「右矢」。
* 對於每一個右矢<math>|\psi\rangle</math>，都獨特地存在一個對應的左矢<math>\langle\psi|</math>，左矢與右矢指的是同一個量子態。在數學裏，左矢與右矢分別是彼此的[[厄米共軛]]，左矢屬於另外一個希爾伯特空間，稱為[[對偶空間]]。假設右矢<math>|\psi\rangle</math>的維度為有限值，則可以將右矢寫為豎排，左矢寫為橫排；取右矢的[[厄米共軛]]（即取[[轉置]]運算加上[[共軛複數]]運算），就可以得到左矢。
* 左矢<math>\lang\phi|</math>與右矢<math>|\psi\rangle</math>的內積，可以寫為<math>\lang \phi|\psi\rang</math>。這內積的物理意義為量子態<math>|\psi\rangle</math>處於量子態<math>|\phi\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

=== 量子態的測量 ===
量子理論只能從量子態計算出可觀察量的[[機率分佈]]，因此只能預測可觀察量的機率分佈，除了一些特別案例之外，不能準確預測（機率小於1）對可觀察量做測量獲得的數值，這反映出經典物理與量子物理之間的重要差異，在經典力學裏，測量的結果本質上是[[決定論|決定性]]的，而不是機率性的。儘管如此，在量子力學裏，對於任意可觀察量，必定存在一組[[本徵態]]。假設量子系統的量子態是其中任意本徵態，則測量這量子系統的可觀察量得到的數值必定等於其對應的本徵值，量子力學可以準確預測這本徵值

反過來說，假設給定了量子系統所有可觀察量的機率分佈，則可決定量子系統的量子態。<ref name=Ballentine/>{{rp|46-47}}但是，決定量子態，並不一定需要所有可觀察量的機率分佈；大多數時候，只需要給定某些可觀察量的機率分佈，就可以決定量子態，其它可觀察量的機率分佈，可以從量子態計算出來。

假設，某量子系統的可觀察量標記為<math>O</math>，其對應的量子算符<math>\hat{O}</math>，可能有很多不同的本徵值<math>O_i</math>與對應的本徵態<math>|e_i\rang</math>，這些本徵態<math>|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math>，形成了具有[[正交歸一性]]的[[基底]]：<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|96-99}}
:<math>\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}</math>；

其中，<math>\delta_{ij}</math>是[[克羅內克函數]]。

描述這量子系統的量子態<math>|\psi\rang</math>，可以用這基底表示為
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang </math>；

其中，<math>c_i=\lang e_i |\psi \rang</math>是複係數，是量子態<math>|\psi\rang</math>處於量子態<math>|e_i\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

重複地做很多次同樣的實驗，在每次實驗裏，量子系統的量子態都設定為<math>|\psi\rang</math>，則對於每一個量子系統的可觀察量<math>O</math>做測量，可能得到的結果是各種本徵態<math>|e_i\rang</math>的本徵值<math>O_i</math>，獲得這些不同結果的次數具有機率性，可以表達為[[機率分佈]]，結果為<math>O_i</math>的機率是<math>|c_i|^2</math>。

假設測量的結果是本徵值<math>O_i</math>，則可以推斷測量後的量子態是本徵態<math>|e_i\rang</math>。假若立刻再測量可觀察量<math>O</math>，由於量子態仍舊是本徵態<math>|e_i\rang</math>，所得到的測量值是本徵值<math>O_i</math>的機率為1，量子態<math>|\psi\rang</math>是「確定態」。

設想另一種可觀察量<math>R</math>，其對應的算符<math>\hat{R}</math>與算符<math>\hat{O}</math>的[[對易關係]]為
:<math>[\hat{R},\hat{O}]\ne 0</math>，

稱這兩種可觀察量為[[不相容可觀察量]]。假若立刻再對本徵態<math>|e_i\rang</math>測量可觀察量<math>R</math>，則又會得到統計性的答案。

=== 單粒子系統的基底量子態 ===
==== 離散案例 ====
假設，某量子系統的可觀察量標記為<math>O</math>，其對應的量子算符<math>\hat{O}</math>，可能有很多不同的本徵值<math>O_i</math>與對應的本徵態<math>|e_i\rang</math>，這些本徵態<math>|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots</math>，形成了具有[[正交歸一性]]的[[基底]]。<ref name=Griffiths2004/>{{rp|96-99}}描述這量子系統的量子態<math>|\psi\rang</math>，可以用這基底的本徵態表示為
:<math>|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang </math>；

其中，<math>c_i=\lang e_i |\psi \rang</math>是複係數，是量子態<math>|\psi\rang</math>處於量子態<math>|e_i\rangle</math>的[[機率幅]]。<ref name=Sakurai/>{{rp|50}}

<math>c_i</math>是<math>|\psi\rang</math>與<math>|{e_i}\rang</math>的內積：
:<math>c_i=\lang {e_i} | \psi \rang</math>。

因此，<math>|\psi\rang</math>可以表示為
:<math>| \psi \rang = \sum_i  |e_i\rangle\lang {e_i} | \psi \rang</math>。

定義[[投影|投影算符]]<math>\hat{\Lambda}_i</math>為
:<math>\hat{\Lambda}_i\ \stackrel{def}{=}\ |e_i\rangle\lang {e_i} |</math>。

投影算符<math>\hat{\Lambda}_i</math>作用於量子態，投射出平行於<math>|{e_i}\rang</math>的部分：
:<math>\hat{\Lambda}_i  | \psi \rang=|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang=c_i|{e_i}\rang</math>。

量子態<math>|\psi\rang</math>是所有投影部分的總和：
:<math>| \psi \rang = \sum_i|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang= \sum_i\hat{\Lambda}_i| \psi \rangle</math>；

由於量子態<math>|\psi\rang</math>可以是任意量子態，因此，基底量子態具有[[閉包 (數學)|閉包性]]，或[[完備性]]：
:<math>\sum_i\hat{\Lambda}_i =\sum_i  |e_i\rangle\lang {e_i} | =1</math>；

其中，在公式最右邊的<math>1</math>代表單位算符。

由於這基底滿足[[正交歸一性]]，
:<math>\lang\psi|\psi\rang=\sum_i |c_i|^2 = 1</math>。

==== 連續案例 ====
位置<math>x</math>是一種連續的可觀察量，具有[[連續]]的本徵值譜：
:<math>\hat{x}|x\rang =x|x\rang</math>；

其中，<math>\hat{x}</math>是對應於可觀察量<math>x</math>的算符，<math>|x\rang</math>是本徵值為<math>x</math>的連續本徵態。

對於這連續本徵態<math>|x\rang</math>所組成的基底，必須將前一節提到的離散和，加以修改為積分：
:<math>| \psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|\psi\rang</math>。

又必須將[[克羅內克函數]]改變為[[狄拉克δ函數]]：
:<math>\lang x|x' \rang =\delta(x-x')</math>。

由於量子態<math>|\psi\rang</math>可以是任意量子態，因此，連續基底量子態具有[[閉包 (數學)|閉包性]]，或[[完備性]]：
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|=1</math>。

由於這基底滿足[[正交歸一性]]，
:<math>\lang\psi|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\  \lang\psi|x'\rang\lang x'|x\rang  \lang x|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\  \delta(x-x')\lang\psi|x'\rang \lang x|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\   |\lang x|\psi\rang|^2=1</math>。

從這方程式，可以推論<math> |\lang x|\psi\rang|^2\mathrm{d}x</math>是粒子處於位置<math>x</math>與<math>x+\mathrm{d}x</math>之間的機率。

內積<math>\lang x|\psi\rang</math>就是[[波動力學]]的[[波函數]]<math>\psi(x)</math>：
:<math>\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang</math>。

=== 態疊加原理 ===
{{main|態疊加原理}}
[[File:Ebohr1_IP.svg|right|200px|thumb|雙縫實驗草圖，從光源<math>a</math>散發出來的[[單色光]]，照射在一座有兩條狹縫<math>b</math>與<math>c</math>的不透明擋牆<math>S2</math>。在擋牆的後面，設立了一個照相底片或某種偵測屏障<math>F</math>，用來紀錄到達<math>F</math>的任何位置<math>d</math>的[[光波]]數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光波在偵測屏障<math>F</math>的干涉圖樣]]
假設某量子系統的量子態可能是<math>|\alpha\rangle</math>或<math>|\beta\rangle</math>這兩個不同的歸一化量子態，則這量子系統也可能處於它們線性疊加而成的量子態<math>c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang</math>（可能尚未歸一化）。假設<math>\theta</math>為實數，則雖然量子態<math>e^{i\theta}|\beta\rang</math>與<math>|\beta\rang</math>對應於同樣的量子態，他們並無法互相替換。例如，<math>|\alpha\rang+|\beta\rang</math>和<math>|\alpha\rang+e^{i\theta}|\beta\rang</math>是兩個不同的量子態。但是，<math>|\alpha\rang+|\beta\rang</math>和<math>e^{i\theta}(|\alpha\rang+|\beta\rang)</math>對應於同一個量子態。因此可以這樣說，整體的[[相位因子]]並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。

例如，在[[雙縫實驗]]裏，[[光子]]的量子態是兩個不同量子態的疊加。其中一個量子態是通過狹縫<math>b</math>。另外一個量子態是通過狹縫<math>c</math>。光子抵達偵測屏障的位置<math>d</math>，這位置離開兩條狹縫的距離之差值<math>bd-cd</math>，與兩個量子態的相對相位有關。由於這相對相位，在偵測屏障的某些位置，會造成相长[[干涉]]，在另外一些位置，會造成相消干涉。

再舉一個例子，[[拉比周期|拉比振動]]，可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個[[雙態系統]]，兩個本徵態的本徵能級不一樣。那麼，因為態疊加的相對相位隨著時間而改變，疊加後的量子態會反復不停地振動於兩個本徵態。

== 參閱 ==
* [[量子諧振子]]
* [[定態]]
* [[激發態]]

== 註釋 ==
{{reflist|group="註"}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{Quantum mechanics topics}}
[[Category:量子態| ]]