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[[辛拓扑]]和[[代数几何]]中，'''量子上同调'''[[环 (代数)|环]]是[[闭流形|闭]][[辛流形]]的普通[[上同调环]]的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是[[诺维科夫环]]）的选择也会对其结构产生重大影响。

普通上同调的[[上积]]描述了子流形如何[[相交理论|相交]]，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过[[伪全纯曲线]]相连接，就是相交的。计算曲线的[[格罗莫夫-威滕不变量]]在量子上积的展开式中作为系数出现。

量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对[[枚举几何]]有重要意义，还与[[数学物理]]和[[镜像对称 (弦理论)|镜像对称]]中的许多观点相关。特别是，它与辛[[弗洛尔同调]]是环[[同构]]的。

本文中''X''是闭辛流形，具有辛形式ω。

==诺维科夫环==
{{see also|诺维科夫环}}
''X''的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码''X''的第二[[同调]]信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录''X''中仿全纯曲线的信息。例如，令

:<math>H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}</math>

为第二同调[[理想 (环论)|模]]其[[挠子群|挠]]（torsion）。令''R''为任意有单位元的交换环，Λ是形式为

:<math>\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,</math>

的形式[[幂级数]]的环，其中

* 系数<math>\lambda_A</math>来自''R''；
* <math>e^A</math>为形式变量，服从关系<math>e^A e^B = e^{A + B}</math>；
* 对每个实数''C''，只有有限多个ω(''A'')小于等于''C''的''A''具有非零系数<math>\lambda_A</math>。

变量<math>e^A</math>的度数为<math>2 c_1(A)</math>，其中<math>c_1</math>是[[切丛]]''TX''的第一[[陈类]]，通过选择任意与ω相配的[[殆复流形|殆复结构]]，可将其视为复[[向量丛]]。因此，Λ是分次环，称作ω的'''诺维科夫环'''（其他定义亦常见）。

==小量子上同调==
令

:<math>H^*(X) = H^*(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}</math>

为''X''模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的'''小量子上同调'''定义为

:<math>QH^*(X, \Lambda) = H^*(X) \otimes_\mathbf{Z} \Lambda.</math>

其元素是形式为

:<math>\sum_i a_i \otimes \lambda_i</math>

的有限和。小量子上同调是分次''R''模：

:<math>\deg(a_i \otimes \lambda_i) = \deg(a_i) + \deg(\lambda_i).</math>

普通上同调<math>H^*(X)</math>通过<math>a \mapsto a \otimes 1</math>嵌入<math>QH^*(X,\ \Lambda)</math>，后者由<math>H^*(X)</math>作为Λ模生成。

对<math>H^*(X)</math>中任意两个纯度（pure degree）的上同调类''a''、''b''，以及<math>H_2(X)</math>中任意的''A''，定义<math>(a*b)_A</math>为<math>H^*(X)</math>的唯一元素，使得

:<math>\int_X (a * b)_A \smile c = GW_{0, 3}^{X, A}(a, b, c).</math>

（右式是0[[亏格]]3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义

:<math>a * b := \sum_{A \in H_2(X)} (a * b)_A \otimes e^A.</math>

根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射

:<math>QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to QH^*(X, \Lambda)</math>

即'''小量子上积'''（small quantum cup product）。

==几何解释==
类<math>A=0</math>中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此

:<math>GW_{0, 3}^{X, 0}(a, b, c) = \int_X a \smile b \smile c;</math>

即

:<math>(a * b)_0 = a \smile b.</math>

于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类''A''。

一般来说，<math>(a*b)_A</math>的[[庞加莱对偶性|庞加莱对偶]]对应着通过''a''、''b''的庞加莱对偶的类''A''的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当''a''、''b''在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了''a''和''b''的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类''A''的相交信息。

==例子==
令''X''为具有标准辛形式（对应[[富比尼–施图迪度量]]）和复结构的复[[射影平面]]。令<math>\ell \in H^2(X)</math>为线''L''的庞加莱对偶，则

:<math>H^*(X) \cong \mathbf{Z}[\ell] / \ell^3.</math>

唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类<math>A=0</math>或<math>A=L</math>的不变量。可得

:<math>\int_X (\ell^i * \ell^j)_0 \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, 0}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k,2)</math>

及

:<math>\int_X (\ell^i * \ell^j)_L \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, L}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k, 5),</math>

其中δ是[[克罗内克δ函数]]。于是，

:<math>\ell * \ell = \ell^2 e^0 + 0 e^L = \ell^2,</math>

:<math>\ell * \ell^2 = 0 e^0 + 1 e^L = e^L.</math>

这时，可以方便地将<math>e^L</math>重命名为''q''，并使用更简单的系数环<math>\mathbf{Z}[q]</math>，其中的''q''之度为<math>6 = 2 c_1(L)</math>。则

:<math>QH^*(X, \mathbf{Z}[q]) \cong \mathbf{Z}[\ell, q] / (\ell^3 = q).</math>

==小量子上积的性质==
对纯度（pure degree）的''a''、''b''，

:<math>\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)</math>

且

:<math>b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.</math>

小量子上积满足[[分配律]]，是Λ双线性的。[[单位元]]<math>1 \in H^0(X)</math>也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足[[结合律]]，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的[[母函数]]）满足特定的三阶[[微分方程]]，即WDVV方程。

相交对

:<math>QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to R</math>

的定义为

:<math>\left\langle \sum_i a_i \otimes \lambda_i, \sum_j b_j \otimes \mu_j \right\rangle = \sum_{i, j} (\lambda_i)_0 (\mu_j)_0 \int_X a_i \smile b_j.</math>
（下标0表示<math>A=0</math>系数。）其满足结合律
:<math>\langle a * b, c \rangle = \langle a, b * c \rangle.</math>

==杜布罗温联络==
基环''R''是'''C'''时，可将向量空间<math>QH^*(X,\ \Lambda)</math>的均匀分次部分''H''看做复流形。小量子上积限制为''H''上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对<math>\langle,\ \rangle</math>的''H''是[[弗罗贝尼乌斯代数]]。

量子上积可视作是切丛''TH''上的[[联络]]，称作'''杜布罗温联络'''。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零[[挠率张量|挠率]]和零[[曲率]]条件。

==大量子上同调==
存在<math>0\in H</math>的邻域''U''，使<math>\langle , \rangle</math>和杜布罗温联络赋予''U''以[[弗罗贝尼乌斯流形]]的结构。<math>\forall a\in U</math>有量子上积

:<math>*_a : H \otimes H \to H,</math>
定义为
:<math>\langle x *_a y, z \rangle := \sum_n \sum_A \frac{1}{n!} GW_{0, n + 3}^{X, A}(x, y, z, a, \ldots, a).</math>

''H''上的积统称为'''大量子上同调'''（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的[[枚举几何]]信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。
==  参考文献==
* McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). ''J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology'', American Mathematical Society colloquium publications. {{isbn|0-8218-3485-1}}.
* {{cite arXiv |last1=Fulton |first1=W |first2=R |last2=Pandharipande |eprint=alg-geom/9608011 |title=Notes on stable maps and quantum cohomology |year=1996}}
* Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), ''Contact and Symplectic Geometry'', pp.&nbsp;171–200. Cambridge University Press. {{isbn|0-521-57086-7}}

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