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在[[機率論]]中，'''重尾分布'''（{{lang-en|Heavy-tailed distribution}}）是一種[[機率分佈]]的模型，它的尾部比[[指數分布]]還要厚。在許多狀況中，通常右邊尾部的分布會比較受到重視，但左邊尾部比較厚，或是兩邊尾部都很厚的狀況，也會被認為是一種重尾分布。

重尾分布之中，又有兩個子類型，分別稱為'''長尾分布'''（long-tailed distributions）以及'''次指數分布'''（subexponential distributions）。
==定義==
===重尾分布===
在一個[[累積分布函數]]中，一個[[随机变量]] ''X''　的分布狀況，在以下狀況時，被稱為是一個重尾分布。假設： 

:<math>
\lim_{x \to \infty} e^{\lambda x}\Pr[X>x] = \infty \quad \mbox{for all } \lambda>0.\,
</math>

如果以尾部分布函數的方式來呈現時，

: <math>\overline{F}(x) \equiv \Pr(X>x) \, </math>

最後可以被寫成：

:<math>
\lim_{x \to \infty} e^{\lambda x}\overline{F}(x) = \infty \quad \mbox{for all } \lambda>0.\,
</math>

這相當於一個[[動差生成函數]] ''F'', ''M''<sub>''F''</sub>(''t'') ，對所有的''t''&nbsp;>&nbsp;0 來說，都是無限的<ref>Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>。

重尾分布的左尾，與雙尾分布，定義相同。

===長尾分布===
在一個[[累積分布函數]]中，一個[[随机变量]] ''X''　的分布，出現以下狀況時，被稱為是一個長尾分布。假設對所有''t''&nbsp;>&nbsp;0 ：

:<math>
\lim_{x \to \infty} \Pr[X>x+t|X>x] =1, \,
</math>

這相等於

:<math>
\overline{F}(x+t) \sim \overline{F}(x) \quad \mbox{as } x \to \infty. \,
</math>

對一個右尾部形成長尾分布的狀況，我們可以做一個直觀的解釋：假如一個長尾分布的尾部數量超過某個很高的水準，它超過另一個更高水準的機率會接近於一。也就是說，如果你發現狀況很糟，它可能會比你想像的還要糟。

長尾分布是重尾分布中的一個特例。所有的長尾分布都是重尾分布，但反之則不然，也就是說，我們可以找出某一個重尾分布，它不是長尾分布。

===次指數分布===
次指數分布是以[[機率分佈]]的[[摺積]]定義出來的。兩個獨立、不同的[[隨機變數]] <math> X_1,X_2</math>的共同分布函數<math>F</math> ，它自己的摺積定義為 <math>F^{*2}</math>，使用[[勒貝格-史台傑斯積分]]（Lebesgue–Stieltjes integration）
定義為：
:<math>
\Pr[X_1+X_2 \leq x] = F^{*2}(x) = \int_{- \infty}^{\infty} F(x-y)\,dF(y).
</math>

n-fold摺積的<math>F^{*n}</math> 也以同樣方式定義。其尾端分布函數 <math>\overline{F}</math> 定義為<math>\overline{F}(x) = 1-F(x)</math>。

當以下式子成立，[[機率分佈]]函數<math>F</math>在正的中線（positive half-line）上，被定義為次指數分布：
:<math>
\overline{F^{*2}}(x) \sim 2\overline{F}(x) \quad \mbox{as } x \to \infty. 
</math>

這也意味著，對所有 <math>n \geq 1</math>來說：
:<math>
\overline{F^{*n}}(x) \sim n\overline{F}(x) \quad \mbox{as } x \to \infty. 
</math>

==註釋==
{{reflist}}
{{DEFAULTSORT:Heavy-tailed distribution}}
[[Category:概率论]]
[[Category:连续分布]]