查看“︁重力位”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Physics
|G2=Astronomy
|G3=unit
|G4=Math
|T=zh-cn:引力势;zh-tw:重力位;zh-hk:重力位;zh-mo:重力位;
|1=zh-cn:引力势;zh-tw:重力位;zh-hk:重力位;zh-mo:重力位;
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}}
{{not|重力位能|重力場}}
[[File:GravityPotential.jpg|thumb|300px|均勻球體內部和周圍的重力位二維切片圖。截面的[[拐点]]位於該球體的表面。]]

在[[古典力學]]中，一個位置上的'''重力位'''（{{lang-en|Gravitational potential}}）等於將每單位質量的物體從零位面移動到該位置所需的[[功]]（即此过程中轉移给该单位质量的物体的[[能量]]）。重力位類似於電磁學中[[電位]]的概念，而[[質量]]可比擬為[[電荷]]在電磁學中扮演的角色。習慣上，重力位的零位面會取在無限遠處。在这种约定下，任何有限距離处的重力位都小於零。

在數學上，重力位也稱為'''牛頓位'''（{{lang-en|Newtonian potential}}），是位能理論的基礎。位能理論也可以用於解釋由均勻帶電或極化的橢圓體產生的[[靜電場]]和[[靜磁場]]。<ref>{{cite book|title=Electrostatics and magnetostatics of polarized ellipsoidal bodies: the depolarization tensor method|first1=C.E.|last1=Solivérez|edition=1st English|year=2016|publisher=Free Scientific Information|isbn=978-987-28304-0-3}}</ref>

==位能==
{{main|重力位能}}
一個位置的重力位（<math>V</math>）等於每單位質量在該點擁有的[[位能]]（<math>U</math>）：

:<math>V = \frac{U}{m},</math>

式中<math>m</math>表示物體的質量。一個位置的重力位能等於在將物體從無限遠處移動到該點的路徑上，重力場所做的正功。若物體的質量等於1公斤，那麼該物體的位能的大小便會與重力位相等。

在某些情況下，可以假設重力場的强度與所在位置無關。此时上式可以被進一步化簡。比方說，在接近地表附近的[[重力加速度]]<math>g</math>可以視為定值，因此不同位置間的位能差<math>\Delta U</math>能夠與高度差<math>\Delta h</math>近似為簡單的線性關係：

:<math>\Delta U \approx mg \Delta h.</math>

==數學形式== 

若令一質點的質量為<math>M</math>，則在與質點距離<math>\mathbf{r}</math>處的重力位<math>V</math>可被定義為：
<ref>{{cite book|title=Classical Dynamics of particles and systems|first1=J.B.|last1=Marion|first2=S.T.|last2=Thornton|edition=4th|page=192|year=1995|publisher=Harcourt Brace & Company|isbn=0-03-097302-3|url=https://archive.org/details/classicaldynamic00mari_0}}</ref><ref>{{cite book |title=Mathematical Methods For Physicists International Student Edition |edition=6th |first1=George B. |last1=Arfken |first2=Hans J. |last2=Weber |publisher={{tsl|en|Academic Press||Academic Press}} |year=2005 |isbn=978-0-08-047069-6 |page=72 |url=https://books.google.com/books?id=tNtijk2iBSMC&pg=PA72 |access-date=2019-12-31 |archive-date=2021-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210418040539/https://books.google.com/books?id=tNtijk2iBSMC&pg=PA72 |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |title=Cambridge International AS and A Level Physics Coursebook |edition=illustrated |first1=David |last1=Sang |first2=Graham |last2=Jones |first3=Gurinder |last3=Chadha |first4=Richard |last4=Woodside |first5=Will |last5=Stark |first6=Aidan |last6=Gill |publisher=[[劍橋大學出版社|Cambridge University Press]] |year=2014 |isbn=978-1-107-69769-0 |page=276 |url=https://books.google.com/books?id=SjsDBAAAQBAJ&pg=PA276 |access-date=2019-12-31 |archive-date=2021-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210418040602/https://books.google.com/books?id=SjsDBAAAQBAJ&pg=PA276 |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |title=A-level Physics |edition=illustrated |first1=Roger |last1=Muncaster |publisher={{tsl|en|Nelson Thornes||Nelson Thornes}} |year=1993 |isbn=978-0-7487-1584-8 |page=106 |url=https://books.google.com/books?id=Knov8XAyf2cC&pg=PA106 |access-date=2019-12-31 |archive-date=2021-04-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210418044258/https://books.google.com/books?id=Knov8XAyf2cC&pg=PA106 |dead-url=no }}</ref>

:<math>V(\mathbf{r}) = - \frac{GM}{r}</math>

=== 推導 ===
{{See also|保守向量場}}

[[牛頓萬有引力定律]]指出：
:<math>\mathbf{F} = - \frac{GMm}{r^2} \mathbf{\hat{r}}</math>
其中
* <math>\mathbf{F}</math>：質量<math>m</math>的質點受到的萬有引力
* <math>G</math>：[[萬有引力常數]]
* <math>m</math>：質點1的質量
* <math>M</math>：質點2的質量
* <math>r</math>：兩個物體之間的距離
* <math>\mathbf{\hat{r}}</math>：由<math>M</math>指向<math>m</math>的單位向量
式中的負號使得<math>m</math>往<math>M</math>方向吸引，因此萬有引力是吸引力。

而重力場<math>g</math>則描述了空間中任意位置上，每單位質量的質點所受到的萬有引力：
:<math>\mathbf{g} = \frac{\mathbf{F}}{m} = - G \frac{M}{r^2} \mathbf{\hat{r}}</math>

當我們去考慮在重力場中每單位質量的物體由外力移動一段距離<math>\mathbf{dl}</math>所需做的功<math>\mathbf{d}W</math>，由於功等於力與位移的內積，所以<math>d\mathbf{d}W = - \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}</math>，式中的負號表示外力所做的功與重力場所做的功相反。如果將物體從點<math>\mathbf{a}</math>移動到點<math>\mathbf{b}</math>，則<math>W</math>等於沿著該路徑的線積分
:<math>W = \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}</math>
在球座標系中<math>\mathbf{dl} = \mathbf{d}r \mathbf{\hat{r}} + r\mathbf{d}\theta \boldsymbol{\hat{\theta}} + r \sin{\theta} \mathbf{d}\phi \boldsymbol{\hat{\phi}}</math>，所以
:<math>\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} = -\frac{GM}{r^2} \mathbf{d}r</math>

因此
:<math>
  \begin{aligned}
    W &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\
      &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \frac{GM}{r^2} \mathbf{d}r \\
      &= GM(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b})
  \end{aligned}
</math>
其中，<math>r_a</math>是從原點到點<math>\mathbf{a}</math>的距離，<math>r_b</math>是從原點到點<math>\mathbf{b}</math>的距離。對於任何兩條具有相同起點和終點的路徑，上式的積分一定具有相同的值。既然線積分與路徑無關，我們可以就定義一個函數<math>V(\mathbf{r})</math>：
:<math>V(\mathbf{r}) = - \int^{\mathbf{r}}_{\mathcal{O}} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}</math>
<math>V(\mathbf{r})</math>就稱為重力位。只要預先設定一個標準參考點<math>\mathcal{O}</math>，<math>V</math>的值就可以由<math>\mathbf{r}</math>來決定。

習慣上，我們將無限遠處的重力位設為零。因此，在點<math>\mathbf{r}</math>的重力位<math>V</math>等於
:<math>
V(\mathbf{r}) = GM(\frac{1}{\infty} - \frac{1}{r})
= -\frac{GM}{r}
</math>
此外，<math>W</math>可以用<math>V</math>重新寫成：
:<math>
  \begin{aligned}
    W &= \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} -\mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\
      &= - \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} - \int_\mathbf{a}^\mathbf{\mathcal{O}} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\
      &= - \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} + \int_\mathbf{\mathcal{O}}^\mathbf{a} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl} \\
      &= V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a})
  \end{aligned}
</math>
因此，在重力場中移動每單位質量的物體所需的功，等於兩點之間重力位的差。如果想將物體移動到了離質點<math>M</math>更遠的地方，則一定要做正功。上式也可以看做是將單位質量的物體從無限遠處移到該點所需的功。

=== 重力位的梯度 ===
{{See also|梯度定理}}

由上述的計算得知，<math>\mathbf{a}</math>、<math>\mathbf{b}</math>兩點之間重力位的差等於
:<math>V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = - \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}</math>
然而根據梯度定理（線積分基本定理），重力位的梯度<math>\mathbf{\nabla}V</math>沿曲線的積分，可用重力位在該曲線兩端的值之差來計算：
:<math>V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} (\mathbf{\nabla}V) \cdot \mathbf{dl}</math>
所以
:<math>\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} (\mathbf{\nabla}V) \cdot \mathbf{dl} = - \int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{g} \cdot \mathbf{dl}</math>
由於對於任何點<math>\mathbf{a}</math>、<math>\mathbf{b}</math>都是如此，因此被積數必須相等：
:<math>\mathbf{g} = - \mathbf{\nabla}V</math>
這是重力位的一個重要性質。

=== 單位 ===

在[[公制單位]]中，力的單位是[[牛頓 (單位)|牛頓]]，質量的單位是[[公斤]]，所以重力場的單位是牛頓/公斤而重力位的單位是牛頓公尺/公斤，或焦耳/公斤。

=== 疊加 ===
经典力学中，一個質量分布產生的重力位，等於各個點質量的重力位的疊加。如果一個質量分布由有限個點質量組成，點質量的位置為<math>\mathbf{r}_1, ..., \mathbf{r}_n</math>，質量為<math>m_1, ..., m_n</math>，那麼其在點<math>\mathbf{r}</math>產生的重力位<math>V(\mathbf{r})</math>等於

:<math>V(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n -\frac{Gm_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r_i}|}.</math>

如果在三維[[歐氏空間]]<math>\mathbf{R}^3</math>上將質量分佈以[[博雷尔测度|測度]]<math>\mathbf{d}m</math>給出，則重力位等於<math>-G/r</math>對<math>\mathbf{d}m</math>的[[卷積]]。<ref>{{harvnb|Vladimirov|1984|loc=§7.8}}</ref> 在理想的情況下，這等價於積分

:<math>V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r} - \mathbf{r} \prime|}\,\mathbf{d}m(\mathbf{r} \prime),</math>

式中<math>|\mathbf{r} - \mathbf{r} \prime|</math>代表點<math>\mathbf{r}</math>與點<math>\mathbf{r} \prime</math>的距離。如果該質量分布在點<math>\mathbf{r}</math>的密度為<math>\rho (\mathbf{r})</math>，那麼<math>\mathbf{d}m</math>便等於密度<math>\rho (\mathbf{r})</math>與單位體積 <math>\mathbf{d}\tau</math>的乘積：<math>\mathbf{d}m=\rho (\mathbf{r})\mathbf{d}\tau</math>，而重力位就等於體積分

:<math>V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|}\,\rho(\mathbf{r} \prime)\mathbf{d}\tau(\mathbf{r} \prime).</math>

== 泊松方程 ==
{{main|重力場|高斯重力定律}}

如果有一個重力場<math>\mathbf{g}</math>由質量分布<math>\rho</math>產生，使用[[高斯重力定律|高斯定律]]（{{lang-en|Gauss's law for gravity}}）的微分形式可以獲得

:<math>\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{g} = -4\pi G\rho .</math>

由於<math>\mathbf{g} = -\mathbf{\nabla} V .</math>，帶入高斯定律後可得到重力的[[泊松方程式]]

:<math>{\nabla}^2 V  =  4\pi G \rho.</math>

若密度處處為零，則上式便退化為[[拉普拉斯方程]]。泊松方程可以使用[[格林函數]]求解。<!--參見:en:Green's function for the three-variable Laplace equation和:en:Newtonian potential.-->

== 球形對稱 ==
{{main|殼層定理}}

根據[[殼層定理]]，若存在一個球形對稱的質量分佈，對對於處在分佈外面的觀察者而言，其行為就好像所有質量都集中在球心的個點質量，因此可以等效地作為點質量來處理。在地球表面，重力加速度''g''大約為9.8&nbsp;m/s<sup>2</sup>，儘管該值隨緯度和海拔高度略有變化（因為地球是扁球形，極點處的加速度大小略大於赤道處的加速度大小。）

在一個密度均勻的球體內，可以求出其重力位<math>V(r)</math>等於
<ref>{{harvnb|Marion|Thornton|2003|loc=§5.2}}</ref>

:<math>V(r) = \frac {2}{3} \pi G \rho (r^2-3R^2),\qquad r\leq R.</math>

== 廣義相對論 ==
在[[廣義相對論]]中，重力位被[[度量張量]]取代。當重力場的來源較弱並且移動速度比[[光速]]慢很多時，廣義相對論就會簡化為牛頓萬有引力理论，且在一阶度規張量可表示为重力位的函数。<ref name="Newtonian or gravitoelectric potential">{{citation|last1=Grøn|first1=Øyvind|last2=Hervik|first2=Sigbjorn|title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology|url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA201|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-69200-5|page=201|accessdate=2019-12-31|archive-date=2021-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20210418045255/https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA201|dead-url=no}}</ref>

== 多極展開 ==
{{main|球多極矩|多極展開}}

在計算空間中的重力位
:<math>V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{R}^3} \frac{G}{|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|}\,\rho(\mathbf{r} \prime)\mathbf{d}\tau(\mathbf{r} \prime)</math>
時，牽涉到計算<math>|\mathbf{r}-\mathbf{r} \prime|</math>的倒數的積分，這個積分的難易度雖著質量分布<math>\rho</math>而異。為了將計算化簡，這時候可以使用[[多極展開]]，將式子化為<math>1/r</math>的[[冪級數]]，讓積分變得容易得多。做理論運算時，在允許誤差範圍內，時常可以只取多極展開幾個最低階的非零項，忽略其它剩下的、數值超小的項。

== 數值 ==
{{main|地球重力}}

下表{{來源請求}}給出了關於來自地球，太陽和銀河系的引力在不同位置上的重力位大小；換句話說，位於地球表面的物體需要60 MJ/kg的动能才能“脫離”地球的重力場，另外要有900 MJ/kg才能脫離太陽的重力場，而超過130 GJ/kg才能脫離銀河系的重力場。重力位是逃離速度的平方的一半。

{| class="wikitable"
|-
! 地點 !! [[地球]]引力的重力位 !! [[太阳]]引力的重力位 !! [[银河系]]引力的重力位
|-
| 地球表面 || 60 MJ/kg || 900 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| [[近地轨道]] || 57 MJ/kg || 900 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| [[旅行者1号]] (距離地球170億公里) || 23 J/kg || 8 MJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|-
| 距離地球 0.1 [[光年]]處 || 0.4 J/kg || 140 kJ/kg || ≥ 130 GJ/kg
|}

== 參見 ==
{{Portal|物理學|天文學}}
* [[牛頓萬有引力定律]]
* [[高斯重力定律]]
* [[地球引力]]
* [[標準重力參數]] ''(GM)''
* [[位势论]]
* {{tsl|en|Newtonian potential|牛頓位}}
* {{tsl|en|Geopotential model|地球重力位模型}}
* [[物理大地測量]]
* [[勒让德多项式]]
* {{tsl|en|Green's function for the three-variable Laplace equation|三個變量的拉普拉斯方程的格林函數}}

== 註腳 ==
{{reflist}}

== 參考資料 ==
{{Refbegin}}
*{{Citation | last1=Vladimirov | first1=V. S. | title=Equations of mathematical physics | publisher=Marcel Dekker Inc. | location=New York | series=Translated from the Russian by Au\mathbf{d}rey Littlewood. Edited by Alan Jeffrey. Pure and Applied Mathematics | mr=0268497 | date=1971 | volume=3}}.
*{{cite journal|first1=W. X. | last1=Wang | title=The potential for a homogeneous spheroid in a spheroidal coordinate system. I. At an exterior point| 
 journal= J. Phys. A: Math. Gen. | year=1988| volume=21 | page=4245-4250|bibcode=1988JPhA...21.4245W }}
* {{cite journal|first1=T. | last1=Milon | title= A note on the potential of a homogenous ellipsoid in ellipsoidal coordinates | journal=J. Phys. A: Math. Gen. | year=1990 |volume=23 | pages=581-584|doi=10.1088/0305-4470/23/4/027}}
*{{cite book |title=Postprincipia: Gravitation for Physicists and Astronomers |url=https://archive.org/details/postprincipiagra0000rast | first = Peter|last=Rastall|publisher={{tsl|en|World Scientific||World Scientific}}|date=1991|isbn=981-02-0778-6|pages=7ff.}}
* {{cite article| first1=John T. | last1=Conway | title = Exact solutions for the gravitational potential of a family of heterogeneous spheroids| journal=Mon. Not. R. Astron. Soc. | year=2000 | volume=316 | pages=555=558 | doi = 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x |bibcode=2000MNRAS.316..555C}}
* {{cite article| first1=H. S. |last1=Cohl | first2=J. E. |last2=Tohline | first3=A. R. P. | last3=Rau |title=Developments in determining the grativational potential using toroidal functions | journal = Astron. Nachr. | year=2000 | volume=321 | number= 5/6 | pages=363-372 | doi=10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X | bibcode=2000AN....321..363C}}
* {{Citation | last1=Thornton | first1=Stephen T. | last2=Marion | first2=Jerry B. | title=Classical Dynamics of Particles and Systems | publisher=Brooks Cole | edition=5th | isbn=978-0-534-40896-1 | date=2003}}.
* {{cite web |url=http://www.eas.slu.edu/People/LZhu/teaching/eas437/gravity.ppt |title=Gravity and Earth's Density Structure |accessdate=2009-03-25 |first1=Lupeia|last1=Zhu|year=1988| agency=California Institute of Technology |publisher=Saint Louis University |department=Department of Earth and Atmospheric Sciences|work=EAS-437 Earth Dynamics}}
* {{cite web|url=http://surveying.wb.psu.edu/sur351/geoid/grava.htm|title=The Gravity Field of the Earth|accessdate=2009-03-25|author=Charles D. Ghilani|work=The Physics Fact Book|publisher=Penn State Surveying Engineering Program|date=2006-11-28|dead-url=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718143144/http://surveying.wb.psu.edu/sur351/geoid/grava.htm|archivedate=2011-07-18}}
* {{cite journal|first1=Toshio | last1=Fukushima | title= Prolate spheroidal harmonic expansion of gravitational field | journal= Astrophys. J. | year=2014 | volume=147 | page=152 |number=6| doi=10.1088/0004-6256/147/6/152|bibcode=2014AJ....147..152F}}

{{Refend}}

[[Category:能量與物理學]]
[[Category:引力]]
[[Category:勢]]