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'''里特沃尔德精修'''（Rietveld refinement），简称'''里特沃尔德法'''（Rietveld method）<ref>{{cite web |title=里特沃尔德法 |url=https://www.termonline.cn/wordDetail?termName=%E9%87%8C%E7%89%B9%E6%B2%83%E5%B0%94%E5%BE%B7%E6%B3%95&subject=ad73f10526a711ee95a4b068e6519520&base=1 |website=术语在线（全国科学技术名词审定委员会） |accessdate=2024-06-08 |archive-date=2024-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240608055331/https://www.termonline.cn/wordDetail?termName=%E9%87%8C%E7%89%B9%E6%B2%83%E5%B0%94%E5%BE%B7%E6%B3%95&subject=ad73f10526a711ee95a4b068e6519520&base=1 |dead-url=no }}</ref>，是由荷兰晶体学家{{le|雨果·里特沃尔德|Hugo M. Rietveld}}提出的一种晶体材料[[表征 (化学)|表征]]技术，是全谱拟合法的一种。根据实验测得的多晶衍射数据全谱信息，利用物质的晶体结构参数（[[晶胞参数]]、原子坐标等）和非结构参数（峰宽、择优取向因子等）信息模拟计算并利用[[非线性回归|非线性]][[最小二乘法]]不断拟合接近实验谱图，从而得到晶体结构信息的方法{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}<ref>{{cite web |title=Rietveld Refinement |url=https://www.crystalimpact.de/match/help/idh_Rietveld.htm |website=Crystal Impact |accessdate=2024-06-08 |archive-date=2024-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240608025533/https://www.crystalimpact.de/match/help/idh_Rietveld.htm |dead-url=no }}</ref>。

里特沃尔德精修还有'''里特沃尔德全谱拟合'''（Rietveld whole pattern fitting）、'''里特沃尔德图谱拟合'''（Rietveld profile fitting）、'''里特沃尔德结构精修'''（Rietveld structure refinement）等其他名称<ref>{{cite web |title=Whole Pattern-Fitting Quantitative Analysis I. Principles |url=http://pd.chem.ucl.ac.uk/pdnn/quant/wholepat.htm |website=Birkbeck College, University of London. |accessdate=2024-06-08 |archive-date=2022-12-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221215234925/http://pd.chem.ucl.ac.uk/pdnn/quant/wholepat.htm |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite web |title=Profile Fitting I. Theory |url=http://pd.chem.ucl.ac.uk/pdnn/refine1/rietveld.htm |website=Birkbeck College, University of London. |accessdate=2024-06-08 |archive-date=2024-10-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20241031050117/http://pd.chem.ucl.ac.uk/pdnn/refine1/rietveld.htm |dead-url=no }}</ref>。

== 历史 ==
1969年，荷兰晶体学家里特沃尔德（Hugo M. Rietveld）首次提出“全谱拟合”的概念，并应用到[[中子衍射技术|中子粉末衍射]]技术中<ref name ="一切开始">{{cite journal |author1=H. M. Rietveld |title=A profile refinement method for nuclear and magnetic structures |journal=Journal of Applied Crystallography |date=1969 |volume=2 |page=65-67 |doi=10.1107/S0021889869006558  |language=英文}}</ref>。里特沃尔德先后用[[ALGOL]]语言和[[Fortran]]语言编写出相关程序并将其自由分享，得到当时晶体结构研究者内使用<ref name="历史">{{cite book |author1=B. H. Toby |editor=C. J. Gilmore, J. A. Kaduk， H. Schenk |title=4.7. Rietveld refinement |date=2019 |publisher=International Union of Crystallography |isbn=978-1-118-41628-0 |edition=First online edition |url=https://onlinelibrary.wiley.com/iucr/itc/Ha/ch4o7v0001/sec4o7o1.pdf |access-date=2024-06-08 |archive-date=2024-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240608025527/https://onlinelibrary.wiley.com/iucr/itc/Ha/ch4o7v0001/sec4o7o1.pdf |dead-url=no }}</ref>。

1977年，奇达姆（A.K. Cheetham）<ref>{{cite journal |author1=A.K. Cheetham |author2=J.C. Taylor |title=Profile analysis of powder neutron diffraction data: Its scope, limitations, and applications in solid state chemistry |journal=Journal of Solid State Chemistry |date=1997 |volume=21 |issue=3 |pages=253-275 |doi=10.1016/0022-4596(77)90203-1}}</ref>对中子衍射图谱的拟合法进行了归纳总结。在此之前全谱拟合技术仅局限于中子衍射技术中{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}。

1979年，库珀（M. J. Cooper）将结构参数和峰型参数同时拟合改进为先拟合峰型参数，后拟合结构参数,使得拟合结果更合理<ref>{{cite journal |author1=M. Sakata |author2=M. J. Cooper |title=An analysis of the Rietveld refinement method |journal=Journal of Applied Crystallography |date=1979 |volume=12 |pages=554-563 |doi=10.1107/S002188987901325X}}</ref>。
杨格（Robert Alan Young）等人将里特沃尔德法应用到了晶体[[X射线衍射]]中，包括[[同步辐射]]X射线衍射技术<ref name = "Young">{{cite book |author1=R. A Young |editor=S. Block, C. R. Hubbard |title=Proceedings of a Symposium on Accuracy in Powder Diffraction Held at the National Bureau of Standards |date=1979 June |publisher=Department of Commerce, National Bureau of Standards |location=Maryland |url=https://books.google.com.hk/books?hl=zh-CN&lr=&id=p-OM4mcKyLYC&oi=fnd&pg=PR9&dq=young+proceeding+of+symposium+on+accuracy+in+powder+diffraction+1979&ots=LoBVQWbViE&sig=lVRw8qdqS5froK9tFGedwHAf7aQ&redir_esc=y#v=onepage&q=young%20proceeding%20of%20symposium%20on%20accuracy%20in%20powder%20diffraction%201979&f=false |accessdate=2024-06-07 |archive-date=2024-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240613072245/https://books.google.com.hk/books?hl=zh-CN&lr=&id=p-OM4mcKyLYC&oi=fnd&pg=PR9&dq=young+proceeding+of+symposium+on+accuracy+in+powder+diffraction+1979&ots=LoBVQWbViE&sig=lVRw8qdqS5froK9tFGedwHAf7aQ&redir_esc=y#v=onepage&q=young%20proceeding%20of%20symposium%20on%20accuracy%20in%20powder%20diffraction%201979&f=false |dead-url=no }}</ref>{{sfnb|Robert Alan Young|1995}}。

随后里特沃尔德精修范围从简单到化学体系不断扩大到复杂体系的分析，如硅酸盐复合水泥的[[定性分析|物相分析]]，蛋白质结构确定<ref name="历史"/>等。经过不断完善与发展，里特沃尔德法已经发展成为获得晶体结构信息的重要方法{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}，并诞生一系列相关软件进行里特沃尔德精修<ref>{{cite web |title=Rietveld结构精修基本介绍 |url=https://estlake.edu.cn/info/1149/1883.htm |website=西湖大学物质科学公共实验平台 |accessdate=2024-06-07}}</ref><ref>{{cite web |title=List of PC (and Mac) Rietveld and Related Powder Diffraction Software |url=http://ccp14.cryst.bbk.ac.uk/ccp/ccp14/ftp-mirror/howardflack/pub/soft/crystal/stxnews/riet/faq/progs/riet-pc.htm |website=Birkbeck, University of London |accessdate=2024-06-07 |archive-date=2024-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240613230518/http://ccp14.cryst.bbk.ac.uk/ccp/ccp14/ftp-mirror/howardflack/pub/soft/crystal/stxnews/riet/faq/progs/riet-pc.htm |dead-url=no }}</ref>{{sfnb|Robert E. Dinnebier, Andreas Leineweber & John S.O. Evans|1995}}{{sfnb|郑振环，李强|2016}}。

== 原理 ==
实验测得的粉末衍射图案常常取决于一系列因素，包括：
{| class="wikitable"
|+影响粉末衍射图案的因素<ref>{{Cite book|title=Fundamentals of Powder Diffraction and Structural Characterization of Materials|last=Pecharsky, Vitalij K..|date = 24 November 2008|isbn=9780387095790|oclc=690510145}}</ref>
!衍射图案性质
!晶体结构
!试样性质
!仪器参数
|-
|峰位置
|[[晶胞参数]]
|
* 辐射吸收
* 孔隙度
|
* 辐射源（波长）
* 仪器-试样对齐度
* 入射束轴向分散度
|-
|峰强度
|原子参数
(原子坐标，比例因子等)
|
* 择优取向度
* 辐射吸收
* 孔隙度
|
* 几何关系和配置
* 辐射洛伦兹偏振度
|-
|峰形状
|
* [[结晶度]]
* [[位错]]
* 缺陷
|
* 晶粒大小
* 应力
* 应变
|
* 辐射源（光谱纯度）
* 几何关系
* 辐射束条件
|}

因此粉末衍射图谱可以由晶体结构参数和仪器因素（峰型参数）确定，并通过计算叠加得到完整图谱。

里特沃尔德精修是基于散射[[能量守恒]]的原理，在假设晶体结构模型和结构参数基础上，结合峰形函数来计算多晶衍射谱，并用最小二乘法不断调整结构参数与峰形参数，使计算得到衍射谱不断逼近实验测得的谱图{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}，使拟合偏差最小，从而得出相关晶体结构信息。

== 精修过程 ==
[[File:Rietveld-Plot.png|325px|thumb|里特沃尔德图。<Br/>上:实验测得的的衍射图谱，中：由[[布拉格定律|布拉格方程]]确定的衍射峰位置，下：实验测得衍射图谱与计算得到的衍射图谱值差异]]
里特沃尔德精修主要经过全谱计算、拟合逼近、拟合评价三个步骤进行。
=== 全谱计算 ===
在给定假设晶体模型下，衍射谱可以由布拉格方程、衍射强度公式、本底函数计算叠加得出。

==== 衍射峰和衍射强度确定 ====
{{main|布拉格方程|X射线晶体学}}
在给定晶体结构和入射束波长λ下，根据[[布拉格方程]]可以确定各[[密勒指数|衍射晶面]]<math>(hkl)</math>对应的衍射角<math>(2\theta)_{hkl}</math>。

根据衍射积分强度公式{{sfnb|Cullity, B.D.; Stock S.R|2003}}：
:<math>I_{hkl} = K \times p_{hkl} \times L_\theta \times P_\theta \times A_\theta \times T_{hkl} \times E_{hkl} \times |F_{hkl}|^2</math>
其中:
* <math>K</math>: 尺寸因子
* <math>p_{hkl}</math>: 多重因子
* <math>L_\theta</math>: 洛伦兹因子
* <math>P_\theta</math>: 偏振因子
* <math>A_\theta</math>:吸收因子
* <math>T_{hkl}</math>: 择优取向因子
* <math>E_{hkl}</math>: 消光因子
* <math>F_{hkl}</math>:晶胞[[结构因子]]
可以得到晶面<math>(hkl)</math>衍射峰对应积分强度<math>I_{hkl}</math>。随后加上[[歸一條件|归一化]]峰型函数<math>G_{hkl}</math>，就得到了第<math>i</math>个衍射峰处的实测强度<math>Y_{hkl-i}</math>
:<math>Y_{hkl-i}=G_{hkl-i} \times I_{hkl-i}</math>

==== 全谱计算 ====
设定背景强度函数<math>Y_{ib}</math>，将各衍射峰强度叠加即可得到全谱各点<math>(2\theta)_{i}</math>处的计算实测强度分布<math>Y_{ic}</math>
:<math>Y_{ic} = Y_{ib}+ \sum_{k}Y_{ki}</math> 其中<math>k=hkl</math>，代表第<math>k</math>个<math>(hkl)</math>衍射峰。
=== 全谱拟合 ===
根据计算得到的衍射谱强度分布<math>Y_{ic}</math>，不断调整相关参数，利用非线性[[最小二乘法]]使得与实验实际测得的衍射谱强度分布<math>Y_{io}</math>的方差<math>M</math>最小：
:<math> M = \sum_{i} W_i \left \{ Y_{ic} - Y_{io} \right \}^2   </math>
其中<math>W_i</math>为权重因子。

通过不断改进初始参数进行循环拟合，使得拟合结果趋于[[极限 (数学)|收敛]]。因此'''里特沃尔德法不能测定未知结构的晶体粉末样品'''{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}。
=== 结果判定 ===
{{main|R因子(晶体学)}}
为了确定精修拟合参数的优劣性，常用可信度因子<math>R</math>来判定参数的正确性:

* 谱图残差<math>R_p</math>，又称可靠因子（Profile residual，Reliability factor）

:<math>R_p = \sum_{i}^{n}\frac{|Y_{io}-Y_{ic}|}{\sum_i^nY_{io}}\times 100\%</math>

* 加权谱图残差<math>R_{wp}</math>（Weighted profile residual）

:<math>R_{wp} = \left(\sum_{i}^{n}\frac{w_i(Y_{io}-Y_{ic})^2}{\sum_i^n w_i(Y_{io})^2}\right)^\frac{1}{2}\times 100\%</math>

* 布拉格残差<math>R_{B}</math>或强度残差<math>R_{I}</math>（Bragg residual，Intensive residual）

:<math>R_B = R_I = \sum_{j}^{m}\frac{|I_{ko}-I_{kc}|}{\sum_i^nI_{ko}}\times 100%</math>

* 期望谱图残差<math>R_{exp}</math>（Expected profile residual）。其为<math>R_{wp}</math>[[期望值]]

:<math>R_\text{exp} = \left(\frac{n-p}{\sum_i^nw_i(Y_{io})^2}\right)^\frac{1}{2}\times 100\%</math>

* 拟合优度<math>\Chi^2</math>，或<math>GofF</math> (Goodness of fitting)

:<math>\Chi^2 = \sum_{i}^{n}\frac{(Y_{io}-Y_{ic})^2}{n-p} = \left(\frac{R_{wp}}{R_\text{exp}}\right)</math>

<math>R_{wp}</math>和<math>\Chi^2</math>是根据峰实测强度<math>Y</math>得来，其中<math>R_{wp}</math>最能反应拟合的优劣。

<math>R_{B}</math>是根据积分强度<math>I</math>得到，与结构模型高度相关，用于判断结构模型和合理性。

<math>\Chi^2</math>或<math>GofF</math>可作为拟合质量标准，理想值为1。若值过大说明拟合模型不良，过小表明数据质量差<ref>{{cite journal |author1=Brian H. Toby |title=R factors in Rietveld analysis: How good is good enough? |journal=Powder Diffraction |date=2006 |volume=21 |issue=1 |pages=67-70 |doi=10.1154/1.2179804}}</ref>。合理范围为1-1.3{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}。

== 拟合函数 ==
完美理想衍射条件下(晶粒无穷小，完全随机取向，仪器几何系统完全准直，无发散纯单色光)，得到的衍射图谱符合理想衍射强度公式，且衍射峰为线型{{sfnb|Cullity, B.D.; Stock S.R|2003}}。然而衍射测定中不可能达到理想条件，故需要引入相关拟合函数进行修正{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}。
=== 峰型函数 ===
峰型函数<math>G_k</math>用于模拟实际测定中衍射峰偏移理想衍射条件引起的峰变形。

里特沃尔德最早采用[[高斯函数]]对中子多晶衍射进行精修<ref name ="一切开始"/>。[[柯西分布|洛伦兹函数]]也是早期常用的峰型函数<ref name = "Young"/>。由于两种函数均不能很好描述峰型，后续在两种函数基础上进行[[卷积]]、[[线性组合]]或改进得到一些列新的峰型函数{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}。
{| class="wikitable"
|+ 常用峰型函数{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}
|-
! 函数名称 !! 简写 !!备注
|-
| [[高斯函数]]（Gaussian）|| <math>GF</math> ||对于峰型，峰顶太宽，峰尾太窄
|-
| [[柯西分布|洛伦兹函数]]（Lorentzian）|| <math>LF</math> || 对于峰型，峰顶太窄，峰尾太宽
|-
| 居间洛伦兹函数（Intermediate Lorentzian）|| <math>IL</math> || 
|-
| 变形洛伦兹函数（Modified Lorentzian）|| <math>ML</math> || 
|-
| 皮尔逊VII函数（Pearson VII）|| <math>P7</math> || 由<math>GF</math>和<math>LF</math>的线性组合得到
|-
| [[福格特函数]]（Voigt）|| <math>VF</math> || 由<math>m</math>个<math>LF</math>和<math>n</math>个<math>GF</math>卷积得到
|-
| 赝福格特函数（Pseudo-Voigt) || <math>PV</math>  || <math>PV = \eta LF + (1 - \eta)GF </math>, 其中<math> 0 < \eta < 1 </math>
|-
| 余弦洛伦兹函数（Cosine-Lorentzian）|| <math>CL</math> || 自变量为衍射角的[[餘弦|余弦]]值的洛伦兹函数形式
|-
| [[司徒頓t分布|学生t-分布]]（Student's t-distribution）|| <math>SF</math> || 高角度和低角度下所用函数系数不同
|}

=== 峰宽函数 ===
峰宽函数<math>H_k</math>用于模拟实际测定中衍射峰偏移理想衍射条件引起的峰宽化，常用半峰宽表示。针对不同的衍射条件提出了不同的峰宽函数形式。
{| class="wikitable"
|+ 常用峰宽函数
|-
!  峰宽函数表达式(<math>U,V,W</math>为拟合参数) !!备注
|-
|<math>H_k^2 =U tan^2 \theta_k + Vtan \theta_k + W</math>  ||Caglioti 公式，适用中子衍射，峰型函数为高斯函数<ref>{{cite journal |author1=G. Caglioti |author2=A. Paoletti |author3=F.P. Ricci |title=Choice of collimators for a crystal spectrometer for neutron diffraction |journal=Nuclear Instruments |date=1958 |volume=3 |issue=4 |pages=223-238 |doi=10.1016/0369-643X(58)90029-X}}</ref>
|-
| <math>H_k =(U tan^2 \theta_k + Vtan \theta_k + W)^2 + X cos \phi /cos \theta_k</math>|| 考虑了峰[[各向异性]]修正，适用中子衍射，峰型函数为高斯函数
|-
| <math>H_k =U tan \theta_k + V /cos \theta_k</math>|| 适用峰型函数为洛伦兹函数  
|-
| <math>H_k^2 =U (tan^2 \theta_k - 0.6 )^2 + V (tan \theta_k - 0.6) + W</math>|| 适用X射线衍射<ref>{{cite journal |author1=R. A. Young |author2=D. B. Wiles |title=Profile shape functions in Rietveld refinements |journal=Journal of Applied Crystallography |date=1982 |volume=15 |pages=430-438 |doi=10.1107/S002188988201231X}}</ref>
|-
|<math>H_k =U E_k + W</math> ||适用同步辐射衍射，<math>E_k</math>为[[辐射能|辐射能量]]<ref>{{cite journal |author1=A. M. Glazer |author2=M. Hidaka |author3=J. Bordas |title=Energy-dispersive powder profile refinement using synchrotron radiation |journal=Journal of Applied Crystallography |date=1978 |volume=11 |pages=165-172 |doi=10.1107/S0021889878013060}}</ref>
|}

=== 本底函数 ===
本底函数<math>Y_b</math>用于模拟衍射谱中的背景。包括[[X射线荧光光谱仪|X射线荧光]]、[[散射|非相干散射]]以及仪器噪声等机械误差；分子[[热运动|热振动]]引起的[[漫反射|漫散射]]；以及[[无定形体|非晶体]]成分造成的背景。

前两种背景常选择实际谱中距离衍射峰较远的一系列点进行[[多项式插值|多项式拟合]]得到。非晶成分则通过已知非晶成分模型叠加得到{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}。

=== 择优取向函数 ===
择优取向函数<math>P_k</math>用于校正非球形（特别是棒状和片状）晶粒在制样过程中朝向分布不均造成的衍射强度分布不均。

最早采用[[指数分布]]分布形式模拟晶体的择优取向分布<ref name ="一切开始"/>,后面又发展出更多择优取向函数形式来适应复杂的情况{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}。

已经提出的择优取向函数：
* <math>P_k = exp( - G \alpha^2 )</math>
* <math>P_k = exp[( G ( \frac{\pi }{2} - \alpha) ^2 ]</math>
* <math>P_k = ( G^2 cos^2 \alpha + sin^2 \frac{\alpha }{G})^{ -\frac{3 }{2}}</math>
其中<math>G</math>为拟合参数，<math>\alpha</math>为择优取向与衍射晶面之间夹角。

== 应用与局限 ==
里特沃尔德精修常用于用于晶体结构分析，包括薄膜材料，纳米材料等低维材料{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}以及生物材料<ref name = "历史"/>的分析：
* 确定晶体的[[晶胞参数]]和结构
* 多晶[[定性分析|物相鉴定]]与[[定量分析]]
* 测定[[残余应力]]、晶粒尺寸、[[结晶度]]
* 分析[[織構|织构]]
* 测定磁结构（中子衍射）
* 测定原子[[径向分布函数]]
* 测定[[键长]]、[[键角]]、
* 测定原子的占位与占位率
* 温度因子等

里特沃尔德精修是全谱拟合中属于需要相关已知晶体结构的数据的一类，另一类则不需要相关结构数据，需要相关纯物质标准谱。因此里特沃尔德法不能测定未知结构的晶体粉末样品，而且需要一个较为准确的初始晶体模型，计算过程相对复杂{{sfnb|潘峰|2016|p=229-235}}{{sfnb|梁敬魁|1993|p=766-791}}。

在X射线衍射谱图精修中，还有Pawley法，{{le|Le Bail法|Le Bail method}}等变种。
Pawley法不需要结构模型，但参数多，耗时，误差较大，难以获得晶体结构内层原子信息。Le Bail法参数少，收敛快，准确度较高。但不能区分位置较近的衍射峰<ref>{{cite web |title=XRD精修过程详细介绍（2） |url=https://shiyanjia.com/knowledge/articleinfo-4860.html |website=科学指南针 |accessdate=2024-06-08 |archive-date=2024-06-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240608030720/https://shiyanjia.com/knowledge/articleinfo-4860.html |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal |author1=V. K. Peterson |title=Lattice parameter measurement using Le Bail versus structural (Rietveld) refinement: A caution for complex, low symmetry systems |journal=Powder Diffraction |date=2012 |volume=20 |issue=1 |pages=14-17 |doi=10.1154/1.1810156}}</ref>{{sfnb|Robert E. Dinnebier, Andreas Leineweber & John S.O. Evans|1995}}。

== 相关条目 ==
* [[X射线晶体学]]
* [[X光散射技术|X射线衍射技术]]
* [[中子衍射|中子衍射技术]]
* [[晶体学]]
* {{le|Hugo Rietveld |Hugo Rietveld}}

== 參考資料 ==
{{Reflist|2}}
== 參考书籍 ==
* {{cite book |author1=潘峰 |author2=王英华 |author3=陈超 |title=X射线衍射技术 |date=2016 |publisher=化学工业出版社 |location=北京 |isbn=978-7-122-27847-0 |edition=2022年第一版}}
* {{cite book |author1=梁敬魁 |title=相图与相结构下册：多晶X射线衍射和结构测定 |publisher=科学出版社 |location=北京 |isbn=978-7-030-03162-4 |edition=1993年第一版}}
* {{cite book |author1=梁敬魁 |title=粉末衍射法测定晶体结构|publisher=科学出版社 |location=北京 |isbn=978-7-030-30473-5|edition=2011年第一版}}
* {{cite book |author1=郑振环 |author2=李强 |title=X射线多晶衍射数据Rietveld精修及GSAS软件入门 |date=2016 |publisher=中国建材工业出版社 |location=北京 |isbn=978-7-516-01456-1}}
* {{cite book |author1=Cullity, B.D. |author2=Stock S.R. |title=Elements of X-Ray Diffraction(Pearson New International Edition) |date=2003年 |publisher=Pearson Education Limited |isbn=978-1-292-04054-7 |url=https://www.eng.uc.edu/~beaucag/Classes/AdvancedMaterialsThermodynamics/Books/B.D.%20Cullity,%20S.R.%20Stock%20-%20Elements%20of%20X-Ray%20Diffraction-Pearson%20Education%20Limited%20(2014).pdf |edition=第三版 |access-date=2024-06-07 |archive-date=2023-12-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231204143803/https://www.eng.uc.edu/~beaucag/Classes/AdvancedMaterialsThermodynamics/Books/B.D.%20Cullity,%20S.R.%20Stock%20-%20Elements%20of%20X-Ray%20Diffraction-Pearson%20Education%20Limited%20(2014).pdf |dead-url=no }}
* {{cite book |author1=Robert E. Dinnebier|author2=Andreas Leineweber |author3=John S.O. Evans |title=Rietveld Refinement Practical Powder Diffraction Pattern Analysis Using TOPAS |date=2018 |publisher=De Gruyter |location=Germany |isbn=978-3-110-46138-1}}
* {{cite book |author1=Robert Alan Young |title=The Rietveld Method |date=1995 |publisher=Oxford University Press |location=UK |isbn=978-0-198-55912-2}}

== 外部链接 ==
* [http://ccp14.cryst.bbk.ac.uk/ccp/ccp14/ftp-mirror/howardflack/pub/soft/crystal/stxnews/riet/faq/progs/riet-pc.htm Rietveld精修相关软件列表(英文)] {{Wayback|url=http://ccp14.cryst.bbk.ac.uk/ccp/ccp14/ftp-mirror/howardflack/pub/soft/crystal/stxnews/riet/faq/progs/riet-pc.htm |date=20240613230518 }}
* [https://www.crystalimpact.de/match/help/idh_Rietveld.htm 相关教学课程(英文)] {{Wayback|url=https://www.crystalimpact.de/match/help/idh_Rietveld.htm |date=20240608025533 }}
{{Crystallography}}
[[Category:晶体学]]