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{{Distinguish|里斯表示定理}}

在数学中，'''里斯-马尔可夫-角谷表示定理'''将[[局部緊|局部紧空间]]上的连续函数空间中的[[線性泛函|线性泛函]]与测度论中的[[测度]]联系起来。该定理冠名于 {{Harvard citations|txt|authorlink=里斯·弗里杰什|first=Frigyes|last=Riesz|year=1909}} ，其对于[[单位区间]]上的[[连续函数]]给出了该定理，而 {{Harvard citations|txt|authorlink=安德烈·马尔可夫|first=Andrey|last=Markov|year=1938}} 将结果推广到一些非紧空间， {{Harvard citations|txt|authorlink=角谷静夫|first=Shizuo|last=Kakutani|year=1941}} 则将结果推广到[[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]。

该定理有许多紧密相关的变体，在这些变体中，线性泛函可能是复值、实值或正值的，作为其定义域的空间可以是单位区间、紧空间或局部紧空间，所涉及的连续函数可能限定为是[[在無窮遠處消失|在无穷远处消失]]的或[[支撑集|紧支撑]]的，而测度可以是{{Le|贝尔测度|Baire measure}}、{{Le|正则博雷尔测度|Borel regular measure}}、 [[拉東測度|拉东测度]]、[[不定号测度]]或[[复测度]]。

== ''C<sub>c</sub>''(''X'')上正线性泛函的表示定理 ==
对于[[紧空间|紧]][[支撑集|支撑]]复值[[连续函数]]空间 <math>C_c(X)</math> 上的正线性泛函的版本，定理的表述如下：

'''定理''' 设 <math>X</math> 为[[局部緊|局部紧]][[豪斯多夫空间]]，而 <math> \psi </math> 为 <math>C_c(X)</math> 上的[[正线性泛函]]。则 <math>X</math> 上存在一个包含所有[[博雷爾集]]的[[Σ-代数]] <math>\Sigma</math> ，且 <math>(X,\Sigma)</math> 上有唯一的正测度 <math> \mu </math> 满足{{Sfn|Rudin|1987|p=40}}

: <math>\psi(f) = \int_X f(x) \, d\mu(x), \quad \forall f \in C_c(X).</math>

且还有以下额外性质成立：

* 对于每一个[[緊子集|紧子集]] <math>K\subset X</math> ， <math>\mu(K)<\infty</math>
* 每个博雷尔集 <math>E\in\Sigma</math> 都是'''外正则'''的，也就是说 <math> \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ open}\} </math>
* 若 <math>E</math> 是一[[开集]]，或 <math>E</math> 是一满足 <math>\mu(E)<\infty</math> 的博雷尔集，则 <math>E</math> 是'''内正则'''的，也就是说 <math> \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ compact}\} </math>
* <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 是[[完备测度空间]]

因此，如果 <math>X</math> 中的所有开集都是{{Le|σ-紧空间|σ-compact space|σ-紧}}的，则 <math>\mu</math> 是一个'''拉东测度'''。{{Sfn|Rudin|1987|p=48}}

== ''C''<sub>0</sub>(''X'')的连续对偶的表示定理 ==
以下表示定理（同样也被称为里斯-马尔可夫定理），给出了 <math>C_0(X)</math> 的[[連續對偶空間|连续对偶空间]]的具体实现，其中 <math>C_0(X)</math> 是 <math>X</math> 上的[[在無窮遠處消失|在无穷远处消失的]][[连续函数]]所构成的集合。

'''定理''' 设 <math>X</math> 是局部紧的豪斯多夫空间。对于任何 <math>C_0(X)</math> 上的[[连续函数|连续]][[線性泛函|线性泛函]] <math> \psi </math> ， <math>X</math> 上存在唯一的复值[[正则博雷尔测度]] <math>\mu</math> 满足

: <math>\psi(f) = \int_X f(x) \, d \mu(x), \quad \forall f \in C_0(X).</math>

复值博雷尔测度 <math>\mu</math> 称为是正则的，若正测度 <math>| \mu |</math> 是[[正则测度|正则的]]，也就是说每个博雷尔集关于 <math>| \mu |</math> 都是内正则且外正则的。 <math> \psi </math> 的范数作为一个线性泛函来说就是 <math>\mu</math> 的[[总变差]] ，其为

: <math> \|\psi\| = |\mu|(X).</math>

最后，当且仅当测度 <math>\mu</math> 是正测度， <math> \psi </math> 是一个[[正线性泛函]]。

这个结论的有界线性泛函版本，可通过先证明有界线性泛函可以写成正线性泛函的有限线性组合来推出。

== 历史评论 ==
在由 {{Harvard citations|txt|authorlink=里斯·弗里杰什|first=Frigyes|last=Riesz|year=1909}} 提供的原始版本中，此定理表明：对于区间 <math>[0,1]</math> 上的连续函数 <math>f</math> 所构成的空间 <math>C([0,1])</math> ， <math>C([0,1])</math> 上的任何连续线性泛函 <math>A</math> 都可表示为

: <math>A[f(x)] = \int_0^1 f(x)\,d\alpha(x),</math>

其中 <math>\alpha(x)</math> 是区间 <math>[0,1]</math> 上的[[有界变差]]函数，积分是[[黎曼-斯蒂尔杰斯积分]]。区间上的正则博雷尔测度与有界变差函数之间存在一一对应关系（即，将相应的[[勒贝格-斯蒂尔切斯测度]]赋予每个有界变差函数，而对勒贝格-斯蒂尔切斯测度的积分与连续函数的黎曼-斯蒂尔切斯积分一致），于是上述定理推广了[[里斯·弗里杰什|里斯]]的原始表述。 {{Sfn|Gray|1984}}

== 引注 ==
{{Reflist}}

== 参考资料 ==

* {{Cite journal |last=Fréchet |first=M. |year=1907 |title=Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires |journal=[[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=144 |page=1414–1416}}
* {{Cite journal |last=Gray |first=J. D. |year=1984 |title=The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis |url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1984_31_2/page/127 |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=31 |issue=2 |page=127&ndash;187 |doi=10.1007/BF00348293}}
* {{Cite journal |last=Hartig |first=Donald G. |year=1983 |title=The Riesz representation theorem revisited |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-04_90_4/page/277 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=90 |issue=4 |page=277&ndash;280 |doi=10.2307/2975760 |jstor=2975760}}; a category theoretic presentation as natural transformation.
* {{Cite journal |last=Kakutani |first=Shizuo |year=1941 |title=Concrete representation of abstract (M)-spaces. (A characterization of the space of continuous functions.) |journal=Ann. of Math. |series=Series 2 |volume=42 |issue=4 |page=994–1024 |doi=10.2307/1968778 |hdl=10338.dmlcz/100940 |jstor=1968778 |mr=0005778 |hdl-access=free}}
* {{Cite journal |last=Markov |first=A. |year=1938 |title=On mean values and exterior densities |journal=Rec. Math. Moscou |series=N.S. |volume=4 |page=165–190 |zbl=0020.10804}}
* {{Cite journal |last=Riesz |first=F. |year=1907 |title=Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables |journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=144 |page=1409–1411}}
* {{Cite journal |last=Riesz |first=F. |year=1909 |title=Sur les opérations fonctionnelles linéaires |journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=149 |page=974–977}}
* {{Cite book|last=Halmos|first=P.|title=Measure Theory|url=https://archive.org/details/measuretheory0000paul|publisher=D. van Nostrand and Co.|year=1950}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Riesz Representation Theorem}}
* {{Cite book|isbn=0-07-100276-6|title=Real and Complex Analysis|last=Rudin|first=Walter|year=1987}}
{{泛函分析}}
[[Category:对偶理论]]
[[Category:泛函分析定理]]
[[Category:线性泛函]]
[[Category:积分表示]]