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{{expert|数学|time=2015-04-06T13:21:01+00:00}}
[[Image:Ricci flow.png|thumb|right|upright|200px|不同时期的里奇流的2D流形.]]

'''里奇-哈密顿流'''，一般称为'''里奇流'''（{{lang-en|Ricci flow}}）在[[微分几何]]中是指一种固有的[[几何学]]流动，它的主要思想是让流形随时间变形，即是让[[度规张量]]随时间变化，观察在流形的变形下，里奇曲率是如何变化的，以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是里奇-哈密顿流方程{{notetag|或只称为里奇流方程}}，是一个拟线性抛物型方程组。

里奇流以義大利數學家[[格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗]]的名字命名，由美國數學家[[理查德·哈密顿]]于1981年首次引入。这个工具同时被俄羅斯數學家[[格里戈里·佩雷尔曼]]用于解决千禧年大奖难题之一的[[庞加莱猜想]]<ref>{{cite arxiv|author=Perelman, Grisha|title=The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications | date = November 11, 2002|eprint=math.DG/0211159|class=math.DG}}</ref>。同样的，[[西蒙·布伦德]]和[[理查德·肖恩]]正是使用它，使{{le|微分球面定理|Sphere theorem}}完成证明。

== 数学定义 ==
给定黎曼流形上一个度规张量<math>g_{ij},</math>可以计算出[[里奇張量|里奇张量]]<math>R_{ij},</math> 則这个度规张量（以及里奇张量）是一族与时间 ''t'' 有关的函数（儘管不一定是真实的物理相关的时间），然后里奇流的定义由以下几何演变方程（'''geometric evolution equation'''）給出<ref>{{cite journal | last = Friedan | first = D. | authorlink = Daniel Friedan | title = Nonlinear models in 2+ε dimensions | journal = PRL | volume = 45 | issue = 13 | pages = 1057 | publisher =  | location =  | year = 1980 | url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.45.1057 | doi = 10.1103/PhysRevLett.45.1057 | bibcode = 1980PhRvL..45.1057F | access-date = 2017-11-02 | archive-date = 2019-06-30 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190630193809/https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.45.1057 | dead-url = no }}</ref>：
:<math>\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij}.</math>

'''正规化'''的里奇流需要结合[[紧空间]]流形给出方程：
:<math>\partial_t g_{ij}=-2 R_{ij} +\frac{2}{n} R_\mathrm{avg} g_{ij}.</math>

这里的 <math>R_\mathrm{avg}</math> 是关于标量曲率（為里奇張量的[[迹 (数学)|跡]]）的平均值，<math>n</math>是流形的維數，这个正规化方程保持度量的體積不變。

实际上，这个-2 因数意义不大，因為可以常數乘 ''t'' 而使 -2 改寫成任意的非零實數。

==注释==
{{notefoot}}
==参考文献==
{{reflist}}

{{Authority control}}
[[Category:微分几何]]