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{{NoteTA |G1=Math}}

:[[File:Completing the square.ogv|thumb|动画描绘了配方法的过程。([[:File:Completing the square.gif|动画版 GIF]])]]
'''配方法'''（{{lang-en|Completing the square}}）。

將下方左边的[[多项式]]化成右边的形式，就是配方法的目标：

:<math>ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 +k</math>，其中<math>h</math>和<math>k</math>是[[常數]]。

==簡介==
在[[基本代数]]中，'''配方法'''是一种用来把[[二次函数]]化为一个多项式的平方与一个[[常数]]的[[加法|和]]的方法。这种方法是把以下的多项式<math display="block">a x^2 + b x\,\!</math>化为<math display="block">(c x + d)^2 + e\,\!</math>以上[[表达式]]中的[[系数]]<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>和<math>e</math>本身也可以是表达式，可以含有除<math>x</math>以外的[[变量]]。

配方法通常用来推导出[[二次方程]]的[[求根算法|求根公式]]：

:<math>\begin{align}
  ax^2+bx+c &{}= 0\\
  ax^2+bx &{}= -c\\
  x^2 + \left( \frac{b}{a} \right) x &{}= -\frac{c}{a}\\
\end{align}</math>

我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。由于问题中的完全平方具有<math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math>的形式，可導出<math>2xy=\frac{b}{a}x</math>，因此<math>y=\frac{b}{2a}</math>。等式两边加上<math>y^2=(\frac{b}{2a})^2</math>，可得：

:<math>\begin{align}
  x^2 + \frac{b}{a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a} \\
  \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &{}=  \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
  x + \frac{b}{2a} &{}= \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
  x &{}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}</math>

这个表达式称为二次方程的求根公式。

==几何学的观点==
[[Image:Completing the square.svg|right|thumb|250px|幾何學的操作過程]]

考虑把以下的方程配方：<math display="block">x^2 + bx = a.\,</math>由于<math>x^2</math>表示[[边长]]为<math>x</math>的[[正方形]][[面积]]，<math>bx</math>表示边长为<math>b</math>和<math>x</math>的[[矩形]]面积，因此配方法可以视为矩形的操作。

如果尝试把矩形<math>x^2</math> 和兩個<math>\frac{b}{2}\,x</math>合并成一个更大的正方形，这个正方形还会缺一个角。把以上方程的两端加上<math>\left(\frac{b}{2}\right)^2</math>，正好是欠缺的角的面积，这就是“配方法”的名称的由来。

==一般公式==


为了得到<math>a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e , \,</math>我们设

:<math>
\begin{align}
  c &{}= \sqrt{a} ,\\
  d &{}= \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\
  e &{}= -d^2\\
    &{}= -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2\\
    &{}= -\frac{b^2}{4a} .
\end{align}</math>

得出<math>a x^2 + b x = \left(\sqrt{a}\,x + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - 
                    \frac{b^2}{4a} . \,</math>

===证明===

注意<math>\left(cx + d\right)^2 + e = c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e</math>。为了把<math>c^2 x^2 + 2cdx + d^2 + e\!</math>化为 <math>ax^2 + bx + f \!</math> 的形式，我们必须进行以下的代换：

:<math>
\begin{align}
  a &{}= c^2 ,\\
  b &{}= 2cd ,\\
  f &{}= d^2 + e .
\end{align}</math>

现在，<math>a</math>、<math>b</math>和<math>f</math>依赖于<math>c</math>、<math>d</math>和<math>e</math>，因此我们可以把<math>c</math>、<math>d</math>和<math>e</math>用<math>a</math>、<math>b</math>和<math>f</math>来表示：

:<math>
\begin{align}
  c &{}= \pm \sqrt{a} ,\\
  d &{}= \frac{b}{2c}\\
    &{}= \pm \frac{b}{2\sqrt{a}} ,\\
  e &{}= f - d^2\\
    &{}= f - \frac{b^2}{4a}
\end{align}</math>

[[当且仅当]]<math>f</math>等于零且<math>a</math>是正数时，这些方程与以上是等价的。如果<math>a</math>是负数，那么<math>c</math>和<math>d</math>的表达式中的±号都表示负号──然而，如果<math>c</math>和<math>d</math>都是负数的话，那么<math>(cx+d)^2</math>的值将不受影响，因此<math>\pm</math>号是不需要的。

==例子==
===具体例子===
:<math>\begin{align}5x^2 + 7x - 6 &{}= 5\left(x^2 + {7 \over 5}x\right) -6 \\
&{}= 5\left[x^2 + {7 \over 5}x +\left({7 \over 10}\right)^2\right] - 6 - 5\left({7 \over 10}\right)^2 \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - 6 - {7^2 \over 2\cdot 10}  \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {6\cdot 20 + 7^2 \over 20} \\
&{}= 5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20}
\end{align}
</math>

从中我們可以求出多項式为零时<math>x</math>的值，也就是多项式的'''根'''。

:<math>
\begin{align}
5x^2 + 7x - 6 &{}= 0\\
5\left(x + {7 \over 10}\right)^2 - {169 \over 20} &{}= 0\\
\left(x + {7 \over 10}\right)^2 &{}= {169 \over 100}\\ &{}= \left({13 \over 10}\right)^2\\
x + {7 \over 10} &{}= \pm {13 \over 10}\\
x &{}= {-7 \pm 13 \over 10}\\ &{}= {3 \over 5}\mbox{ or }-2
\end{align}</math>

我们也可以求出<math>x</math>取得什么值时，以下的多项式为最大值或最小值：<math display="block">y = 5x^2 + 7x - 6</math>最高次数的项<math>x^2</math>的系数为正，因此<math>x</math>的绝对值越大，<math>y</math>就越大。但是，<math>y</math>有一个最小值，在任何地方都不能比它更小。从完全平方的形式中，<math>y = 5\left(x + \frac{7}{10}\right)^2 - \frac{169}{20} </math>，我们可以看到，如果<math>x = -{7 \over 10} </math>，那么<math>y=-\frac{169}{20}=-8.45</math>；但如果<math>x</math>是任何其它的数，<math>y</math>都是<math>-\frac{169}{20}</math>加上一个非零的平方数。由于非零实数的平方都是正数，因此当<math>x</math>不为 <math>-\frac{7}{10} </math>时，<math>y </math>一定大于&minus;8.45。所以，<math>
(x,y)=\left(-\frac{7}{10},-\frac{169}{20}\right)=(-0.7,-8.45)=</math>就<math>y </math>的最小值。

===微积分例子===
假设我们要求出以下函数的[[原函数]]：<math display="block">\int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx.\,\!</math>这可以用把分母配方来完成。分母是：<math display="block">9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241</math>把两边<math>x^2-10x</math>加上<math>(\frac{10}{2})^2=25</math>，就可以得到一个完全平方，<math>x^2-10x+25=(x-5)^2</math>。分母变为：

:<math>
\begin{align}
  9(x^2-10x)+241 &{}=9(x^2-10x+25)+241-9(25)\\
                 &{}=9(x-5)^2+16
\end{align}</math>

因此[[积分]]为：

:<math>
\begin{align}
  \int\frac{1}{9x^2-90x+241}\,dx &{}=\frac{1}{9}\int\frac{1}{(x-5)^2+(\frac{4}{3})^2}\,dx\\
                              &{}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C 
\end{align}</math>

===复数例子===
考虑以下的表达式：<math display="block"> |z|^2 - b^*z - bz^* + c</math>其中<math> z</math>和<math> b</math>是[[复数 (数学)|复数]]，<math> z^*</math>和<math> b^*</math>分别是<math> z</math>和<math> b</math>的[[共轭复数]]，<math> c</math>是一个[[实数]]。利用恒等式<math> \left \vert u \right \vert ^2=uu^*</math>，我们可以把它写成：<math display="block"> |z-b|^2 - |b|^2 + c</math>这显然是一个实数。这是因为：

:<math>
\begin{align}
  |z-b|^2 &{}=  (z-b)(z-b)^*\\
          &{}=  (z-b)(z^*-b^*)\\
          &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
          &{}=  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 
\end{align}</math>

作为另外一个例子，以下的表达式<math display="block"> ax^2 + by^2 + c</math>其中<math> a</math>、<math> b</math>、<math> c</math>、<math> x</math>和<math> y</math>是实数，<math> a>0</math>且<math> b>0</math>，可以用一个复数的[[绝对值]]的平方来表示。定义<math display="block"> z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y </math>那么

:<math>
\begin{align}
  |z|^2 &{}= z z^*\\
        &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
        &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
        &{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}</math>

因此<math display="block"> ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c  \,\!</math>

==方法的变化==
通常配方法是把第三项<math> v^2</math>加在<math>u^2 + 2uv\,</math>，得出一个平方。我们也可以把中间的项（<math>2uv</math>或<math>-2uv</math>）加在多项式<math>u^2 + v^2\,</math>就得出一个平方。
===例子：正数与它的倒数的和===
从以下的恒等式中，

:<math>
\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
                &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}</math>

我们可以看出，正数<math>x</math>与它的倒数的和总是大于或等于 2。

===例子：分解四次多项式===
假设我们要把以下的四次多项式分解：<math display="block">x^4 + 324</math>也就是：<math display="block">(x^2)^2 + (18)^2</math>因此中间的项是<math>2(x^2)(18)=36x^2</math>。所以，我们有：

:<math>\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2  \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}</math>

最后一个步骤是把所有的项按降幂方式排列。

==参考文献==
*《初中代数41讲》，贾士代主编，[[首都师范大学出版社]]，ISBN 7-81039-028-7，第49-55页。
*《华罗庚学校数学课本（初一年级）》，[[刘彭芝]]主编，[[中国大百科全书出版社]]，ISBN 7-5000-5664-8，第81-91页。

==外部链接==
*{{planetmath reference|id=4237|title=Completing the square|urlname=completingthesquare}}
* 用配方法来解二次方程：[https://web.archive.org/web/20150729171230/http://www.webgraphing.com/quadraticequation_completingthesquare.jsp WebGraphing.com]

[[Category:初等代数|P]]