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在[[公理化集合论]]和使用它的[[逻辑]]、[[数学]]和[[计算机科学]]分支中，'''配对公理'''是 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]的[[公理]]之一。

==形式陈述==
在 Zermelo-Frankel 公理的[[形式语言]]中，这个公理读做：
:<math>\forall x, \forall y, \exist A, \forall z: z \in A \iff (z = x \lor z = y)</math>
换句话说：
:[[全称量化|给定任何]][[集合 (数学)|集合]] ''x'' 和任何集合 ''y''，[[存在量化|有着]]一个集合 ''A'' 使得，给定任何集合 ''z''，''z'' 是 ''A'' 的成员，[[当且仅当]] ''z'' [[等于]] ''x'' [[逻辑析取|或者]] ''z'' 等于 ''y''。

==解释==
这个公理实际说的是，给定两个集合 ''x'' 和 ''y''，我们可以找到一个集合 ''A'' ，它的成员就是 ''x'' 和 ''y''。我们可以使用[[外延公理]]证明这个集合 ''A'' 是唯一的。我们可以叫这个集合 ''A'' 为 ''x'' 和 ''y'' 的'''对'''，并把''A''指示为 {''x'',''y''}。所以这个公理的本质是：
:任何两个集合都有一个对。
{''x'',''x''} 简写为 {''x''}，叫做包含 ''x'' 的[[单元素集合]]。注意单元素集合是对的特殊情况。

配对公理还允许定义[[有序对]]。对于任何集合 <math>a</math> 和 <math>b</math>，有序对的定义如下：
:<math> (a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}.\,</math>

注意这个定义满足条件
:<math>(a, b) = (c, d) \iff a = c \land b = d. </math>

有序的[[多元组|''n''-元组]]可以递归的定义如下：

:<math> (a_1, \ldots, a_n) = ((a_1, \ldots, a_{n-1}), a_n). </math>

配对公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的[[公理化]]中。不过在 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]的标准陳述裡，配对公理可以从[[幂集公理]]和[[替代公理|替代公理模式]]中得出，所以它有时被省略。

==一般化==

与[[空集公理]]一起，配对公理可以一般化为如下模式：
:<math>\forall x_1, \ldots, \forall x_n, \exist A, \forall y: y \in A \iff (y = x_1 \lor \cdots \lor y = x_n)</math>
就是说：
:给定任何[[有限集合|有限]]数目的集合 ''x''<sub>1</sub> ,..., ''x''<sub>''n''</sub>，有一个集合 ''A''，它的成员就是 ''x''<sub>1</sub> ,..., ''x''<sub>''n''</sub>。同樣地，通过外延公理可知这个集合 ''A'' 是唯一的，其指示为{''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>}。

当然，我们不能严格地指出何謂''有限''数目的一些集合，除非早就給定了一個有限集合，而上述的''x''<sub>1</sub> ,..., ''x''<sub>''n''</sub>都屬于這個集合。所以，这不是一个单一的陈述而是一个{{link-en|模式 (邏輯)|Logical form|模式}}，对每个[[自然数]] ''n'' 有一个单独的陈述。
*情况 ''n'' = 1 是带有 ''x'' = ''x''<sub>1</sub> 而 ''y'' = ''x''<sub>1</sub> 的配对公理。
*情况 ''n'' = 2 是带有 ''x'' = ''x''<sub>1</sub> 而 ''y'' = ''x''<sub>2</sub> 的配对公理。
*情况 ''n'' > 2 可以透過多次使用配对公理和[[并集公理]]来证明。

例如，要证明情况 ''n'' = 3，使用配对公理三次，来生成对 {''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>}，单元素集合 {''x''<sub>3</sub>}，接着的对 {{''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>},{''x''<sub>3</sub>}}。并集公理接着生成想要的结果 {''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>}。我们可以扩展这个模式以包括 ''n''=0，如果我们把这个情况詮釋为[[空集公理]]的話。

所以，它可以作为[[公理模式]]来替代空集公理和配对公理。但是人们通常单独使用空集公理和配对公理，并把它作為一個[[定理]]模式來证明。注意接受这个模式为公理模式不会替代[[并集公理]]，在其他情况下仍需要并集公理。

==其他替代者==
另一个公理在給定[[空集公理]]时可以蕴涵配对公理：  
:<math>\forall x, \forall y, \exist A, \forall z (z \in A \iff (z \in x \lor z = y))</math>
作{{link-en|代入 (邏輯)|Substitution (logic)|代入}}： ''x''={}，''y''=''a''，我们得到 A 为 {''a''}。接着再作代入：''x''={''a''}，''y''=''b''，我们得到 ''A'' 为 {''a'',''b''}。透過这种方式可以構造任意有限集合。而且這個公理可以用来生成所有[[继承有限集合]]，而不需使用[[并集公理]]。

== 引用 ==
*Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
*Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.

[[Category:集合论公理]]
{{集合论}}