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{{noteTA|G1=Math}}
在[[数学]]中，带有[[结构群]] ''G''（[[拓扑群]]）的[[纤维丛]]理论允许产生一个'''配丛'''（{{lang|en|associated bundle}}）的操作，将丛的典型纤维由 ''F''<sub>1</sub> 变成 ''F''<sub>2</sub>，两者都是具有群 ''G'' [[群作用|作用]]的[[拓扑空间]]。对具有结构群 ''G'' 的纤维丛 ''F''，纤维在两个局部坐标系 ''U''<sub>α</sub> 与 ''U''<sub>β</sub> 交集上的转移函数（即上链）由一个 ''U''<sub>α</sub>∩''U''<sub>β</sub> 上 ''G''-值函数 ''g''<sub>αβ</sub> 给出。我们可以构造一个纤维丛 ''F''&prime; 有同样的转移函数，但可能具有不同的纤维。

== 一个例子 ==
一个简单的例子来自[[莫比乌斯带]]，这里 ''G'' 是 2 阶[[循环群]] <math>\mathbb{Z}/2</math>。我们可任取 ''F'' 为实数线 <math>\mathbb{R}</math>、区间 <math>[-1,\ 1]</math>、去掉 0 的实数线或两个点的集合 <math>\{-1,\ 1\}</math>。直觉看来 ''G'' 在它们上的作用（在每种情形，非单位元素作用为 <math>x\ \rightarrow\ -x</math>）是可比较的。可以更形式地说，把两个矩形 <math>[-1,\ 1] \times I</math> 与 <math>[-1,\ 1] \times J</math> 黏合在一起：我们其实需要的是将一端的 <math>[-1,\ 1] \times I</math> 直接与自己等同，而在另一端扭转后等同。这个数据可用一个取值于 ''G'' 的补丁函数记下。'''配丛'''构造恰是观察到这个数据对 <math>\{-1,\ 1\}</math> 与对 <math>[-1,\ 1]</math> 是一样的。

==构造 ==
一般地只需解释由一个具有纤维 ''F'' 作用的丛，''G'' 作用在 ''F'' 上，变为相配的[[主丛]]（即以 ''G'' 为纤维的丛，考虑为作用在自身的平移）。然后，我们可由 ''F''<sub>1</sub> 经过主丛变为 ''F''<sub>2</sub>。由一个开覆盖数据表述的细节由[[下降 (范畴论)|下降]]的一种情形给出。

这一节是这样组织的：我们首先引入从一个给定的纤维丛，产生一个具有制定的纤维的配丛的一般程序。然后是当制定的纤维是关于这个群在自身上左作用的一个[[主齐性空间]]特例，得到了配主丛。如果另外，在主丛的纤维上给出了一个右作用，我们叙述如何利用[[纤维积]]构造任何配丛
<ref>所有这些构造都属于[[夏尔·埃雷斯曼|埃雷斯曼]] Ehresmann (1941-3)；由 Steenrod (1951)  p. 36 给出。</ref>。

=== 一般配丛 ===

设 &pi; : ''E'' &rarr; ''X'' 是[[拓扑空间]] ''X'' 上一个纤维丛，带有结构群 ''G'' 及典型纤维 ''F''。由定义，有 ''G'' 在纤维 ''F'' 上一个[[群作用|左作用]]（作为[[变换群]]）。此外假设这个作用是[[群作用|有效的]]<ref>有效性是对纤维丛的通常假设，参见 Steenrod (1951)。特别地，这个条件足够保证相配于 ''E'' 的主丛的存在性与惟一性。</ref>。存在 ''E'' 的一个由 ''X'' 的一个[[开覆盖]] ''U''<sub>i</sub>，以及一族[[丛映射|纤维映射]]
:&phi;<sub>i</sub> : &pi;<sup>-1</sup>(''U''<sub>i</sub>) &rarr; ''U''<sub>i</sub> &times; ''F'' 
组成的[[局部平凡化]]，使得[[转移映射]]由 ''G'' 的元素给出。更确切地，存在连续函数 ''g''<sub>ij</sub> : (''U''<sub>i</sub> &cap; ''U''<sub>j</sub>) &rarr; ''G'' 使得
:&psi;<sub>ij</sub>(''u'',''f'') := &phi;<sub>i</sub> o &phi;<sub>j</sub><sup>-1</sup>(''u'',''f'') = (''u'',''g''<sub>ij</sub>(''u'')''f'') 对每个 (''u'',''f'') &isin; (''U''<sub>i</sub> &cap; ''U''<sub>j</sub>) &times; ''F''。

现在设 ''F''&prime; 是一个制定的拓扑空间，装备有 ''G'' 的一个连续左作用。则'''相配于''' ''E''、具有纤维 ''F''&prime; 的丛是一个丛 ''E''&prime; 具有从属于覆盖 ''U''<sub>i</sub> 其转移函数为：
:&psi;&prime;<sub>ij</sub>(''u'',''f''&prime;) = (''u'', ''g''<sub>ij</sub>(''u'') ''f''&prime;)，对  (''u'',f&prime; ) &isin;(''U''<sub>i</sub> &cap; ''U''<sub>j</sub>) &times; ''F''&prime; 
这里 ''G''-值函数 ''g''<sub>ij</sub>(''u'') 与由原先的丛 ''E'' 的局部平凡化得到的相同。

这个定义显然遵守转移函数的上链条件，因为在每一种情形它们由同样 ''G''-值函数系统给出（使用另一个局部平凡化，如果有必要使用一般的加细过程，则 ''g''<sub>ij</sub> 通过相同的上边缘变换）。从而，由{{tsl|en|fiber bundle construction theorem|纤维丛构造定理}}（fiber bundle construction theorem），这样便产生了所要求的具有纤维 ''F''&prime; 的纤维丛 ''E''&prime; 。

===主丛配于纤维丛===
和前面一样，假设 ''E'' 是一个具有结构群 ''G'' 的纤维丛。当 ''G''-左[[群作用|自由且传递作用]]于 ''F''&prime; 的特例时，所以 ''F''&prime; 是 ''G'' 在自身上左作用的一个[[主齐性空间]]，则相配的丛 ''E''&prime; 称为相配于纤维丛 ''E'' 的主 ''G''-丛。如果此外新纤维 ''F''&prime; 等同于 ''G''（从而 ''F''&prime; 不仅有左作用也继承了 ''G'' 的一个右作用），则 ''G'' 在 ''F''&prime; 上的右作用诱导了 ''G'' 在 ''E''&prime; 上的右作用。通过选取等同化，''E''&prime; 成为通常意义的主丛。注意，尽管没有典范的方式选取 ''G'' 的一个主齐性空间上的右作用，任何这样的作用将得出相同的具有结构群 ''G'' 的承载纤维丛（因为这是由 ''G'' 的左作用得到），而且作为 ''G''-空间在存在一个整体定义的 ''G''-值函数联系两者的意义下同构。

以这样方式，装备一个右作用的主 ''G''-丛通常视为确定具有结构群 ''G'' 的纤维丛的数据之一部分，因为对纤维丛我们可以由配丛构造法来建构主丛。在下一节中，我们经相反的道路利用一个[[纤维积]]得到任何纤维丛。

===纤维丛配于主丛===

设 π : ''P'' → ''X'' 是一个[[主丛|主 ''G''-丛]]，令 ρ : ''G'' → Homeo(''F'') 是 ''G'' 在空间 ''F''上一个连续[[群作用|左作用]]（在连续范畴中，我们需有光滑流形上一个光滑作用）。不失一般性，我们取作用是有效的（ker(ρ) = 1）。

''G'' 在 ''P'' × ''F'' 上定义 ''G'' 的一个右作用为
:<math>(p,f)\cdot g = (p\cdot g, \rho(g^{-1})f).</math>
然后我们将这个作用[[商空间|等化]]得到空间 ''E'' = ''P'' ×<sub>ρ</sub> ''F'' = (''P'' × ''F'') /''G''。将 (''p'',''f'') 的等价类记为 [''p'',''f'']。注意到
:<math>[p\cdot g,f] = [p,\rho(g)f]</math>，对所有 <math>g\in G.</math>
由 π<sub>ρ</sub>([''p'',''f'']) = π(''p'')，定义投影映射 π<sub>ρ</sub> : ''E'' → ''X''。注意这是[[良定义]]的。

那么 π<sub>ρ</sub> : ''E'' → ''X'' 是一个纤维丛，具有纤维 ''F'' 与结构群 ''G''。转移函数由 ρ(''t''<sub>''ij''</sub>) 给出，这里 ''t''<sub>''ij''</sub> 是主丛 ''P'' 的转移函数。

== 结构群的约化 ==
{{details|结构群的约化}}
配丛的一个相伴的概念是一个 ''G''-丛 ''B'' 的'''结构群的约化'''。我们问是否存在一个 ''H''-丛 ''C''，使得相配的 ''G''-丛是 ''B''（在[[同构]]的意义下）。更具体地，这是问 ''B'' 的转移数据能否一致的取值于 ''H'' 中。换句话说，我们要求确认相配丛映射的像（这其实是一个[[函子]]）。

===约化的例子===
[[向量丛]]的例子包括：引入一个[[度量]]导致结构群由一个[[一般线性群]]约化为[[正交群]] O(''n'')；一个实丛的[[复结构]]的存在性导致结构群由实一般线性群 GL(2''n'','''R''') 约化为复线性群 GL(''n'','''C''')。

另一个重要的情形实寻找一个秩 ''n'' 向量丛 ''V'' 的作为秩 ''k'' 与秩 ''n-k'' 子丛的{{tsl|en|Whitney sum|惠特尼和}}（Whitney sum），这将导致结构群由 GL(''n'','''R''') 约化为 GL(''k'','''R''') &times; GL(''n-k'','''R''').

我们也能将[[叶状结构]]的条件表述为将[[切丛]]的结构群约化为[[分块矩阵]]子群——但这里约化只是必要条件，还有一个[[可积性条件]]使得[[弗罗贝尼乌斯定理]]可以使用。

== 另见 ==
*[[旋量丛]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*{{Cite book|title = Topology of Fibre Bundles|url = https://archive.org/details/topologyoffibreb0000stee|first = Norman|last = Steenrod| publisher = Princeton University Press|year=1951|isbn = 0-691-00548-6}}

[[Category:纤维丛|P]]
[[Category:代数拓扑|P]]

[[Category:微分几何|P]]
[[Category:微分拓扑学|P]]