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{{NoteTA|G1=Math}}
{{线性代数}}

在[[線性代數]]中，'''么正矩陣'''（又译作'''-{zh-cn:幺正矩阵; zh-tw:酉矩陣;}-'''，英語：unitary matrix）指其[[共軛轉置]]恰為其[[逆矩陣]]的[[复数 (数学)|複數]][[方陣]]，數學描述如下：

:（數學定義）<math>U^*U=UU^*=I_n</math>，
:（推論）<math>U^{-1} = U^*</math>。

其中 {{math|''U''*}} 是 {{math|''U''}} 的[[共軛轉置]]，{{math|''I<sub>n</sub>''}} 是 {{math|''n''×''n''}} [[單位矩陣]]。

么正矩陣是[[正交矩陣]]（元素均為[[實數]]）在[[复数 (数学)|複數]]的推廣。

==例子==

以下是一個酉矩陣的例子：

:<math>U=\begin{bmatrix}
-\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}</math>。

驗证如下：

:<math>U^*U=\begin{bmatrix}
\frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math>

:<math>UU^*=\begin{bmatrix}
-\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{i}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math>

==性質==

從定義可知，么正矩陣滿足以下性質：

:<math>U^*U=UU^*=I_n</math> 。

由此可見，么正矩陣與其共軛轉置 {{math|''U''*}} [[矩陣乘法]][[可交換]]，是[[正規矩陣]]。

么正矩陣亦必定可逆，且[[逆矩陣]]等於其共軛轉置：

:<math>U^{-1} = U^*</math>。


么正矩陣 {{math|''U''}} 的所有[[特徵值]] {{math|λ<sub>''n''</sub>}} ，都是[[絕對值]]等於 {{math|1}} 的複數：

:<math>\left| \lambda_n \right| = 1</math> 。

因此，么正矩陣 {{math|''U''}} [[行列式]]的絕對值也是 {{math|1}}：

:<math>\left| \det(U) \right| = 1</math> 。


么正矩陣 {{math|''U''}} 不會改變兩個複向量 {{math|'''x'''}} 和 {{math|'''y'''}} 的[[點積]]：
:<math>(U\mathbf{x})\cdot(U\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}</math>。

更一般地說，所有[[內積空間|希爾伯特內積]]也不會改變：
:<math>\langle U\mathbf{x}, U\mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle</math>。


若 {{math|''U''}} 及 {{math|''V''}} 都是么正矩陣，则 {{math|''UV''}} 也是么正矩陣：

:<math>(UV)^*(UV)=(UV)(UV)^*=I_n</math>。


若 {{math|''U''}} 为 {{math|''n''×''n''}} 矩陣，則下列條件等價：

# {{math|''U''}} 是么正矩阵
# {{math|''U''<sup>*</sup>}}是么正矩阵
# {{math|''U''}} 的[[列向量]]是在 {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} 上的一组[[标准正交基]]
# {{math|''U''}} 的[[行向量]]是在 {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} 上的一组[[标准正交基]]


給定任意的 {{math|''n''}} ，所有 {{math|''n''}} 階么正矩阵的集合 {{math|''G''}} 與矩陣乘法「{{math|⋅}}」，都能構成一個[[群]] {{math|(''G'', ⋅ )}}。

==么正對角化==

'''么正對角化'''（又译作'''-{zh-cn:幺正對角化; zh-tw:酉對角化;}-'''，英語：unitary diagonalisation），指把一個矩陣 {{math|''A''}} [[對角化]]成以下形式：

:<math>A=UDU^*</math> ，
其中 {{math|''U''}} 是么正矩陣，{{math|''D''}} 是[[對角矩陣]]。

根據[[譜定理]]，一個矩陣 {{math|''A''}} 可么正對角化，當且僅當 {{math|''A''}} 是[[正規矩陣]]，即它與其共軛轉置 {{math|''A''*}} 矩陣乘法可交換（{{math|1= ''A''*''A'' = ''AA''*}}）。


由於么正矩陣本身也是一個正規矩陣，因此么正矩陣 {{math|''U''}} 也可么正對角化：

:<math>U = V\Sigma V^*\;</math>，

其中 {{math|''V''}} 是么正矩陣，{{math|Σ}} 是對角矩陣。

==参见==
*[[共軛轉置]]
*[[厄米矩陣]]
*[[矩陣分解]]
*[[么正群]]
*[[么正算符]]
*[[辛矩阵]]

== 參考資料 ==
*Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html |date=20210512152923 }}
*Peter V. O'Neil（2012）。高等工程數學（第7版）。黃孟槺譯。華泰文化總經銷，ISBN 978-1-285-10502-4。

[[Category:矩阵]]
[[Category:酉算]]