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{{expand|time=2010-10-15T09:21:12+00:00}}
==定义==
<math>X</math>的映射<math>\mathfrak{U}:X \to P(P(X))</math>（<math>P(P(X))</math>指<math>X</math>的幂集的幂集）。这样<math>\mathfrak{U}</math>将<math>X</math>的每个点<math>x</math>映射至<math>X</math>的子集族<math>\mathfrak{U}(x)</math>。<math>\mathfrak{U}(x)</math>称为<math>x</math>的'''邻域系'''（或称'''邻域系统'''，<math>\mathfrak{U}(x)</math>的元素称为<math>x</math>的'''邻域'''），当且仅当对任意的<math>x \in X</math>，<math>\mathfrak{U}(x)</math>满足如下'''邻域公理'''：

* '''U<sub>1</sub>'''：若<math>U\in\mathfrak{U}(x)</math>，则<math>x\in U</math>。
* '''U<sub>2</sub>'''：若<math>U, V\in\mathfrak{U}(x)</math>，则<math>U \cap V \in \mathfrak{U}(x)</math>。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
* '''U<sub>3</sub>'''：若<math>U\in\mathfrak{U}(x)</math>，<math>U\subseteq V\subseteq X</math>，则<math>V\in\mathfrak{U}(x)</math>。
* '''U<sub>4</sub>'''：若<math>U\in\mathfrak{U}(x)</math>，则存在<math>V\in\mathfrak{U}(x)</math>，使<math>V\subseteq U</math>且对所有<math>y\in V</math>，有<math>V\in\mathfrak{U}(y)</math>。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：
* 从'''邻域'''定义'''开集'''：<math>X</math>的子集<math>O</math>是开集，当且仅当对任意<math>x\in O</math>，有<math>O \in \mathfrak{U}(x)</math>。（<math>O</math>是其中每个点的邻域）。
* 从'''邻域'''定义'''开核'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>的开核<math>A^{\circ} = \{x | \exists U \in \mathfrak{U}(x), U \subseteq A \}</math>。
* 从'''邻域'''定义'''闭包'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>的闭包<math>\overline{A} = \{x|\forall U\in \mathfrak{U}(x), U\cap A\ne\varnothing\}</math>。

参照[[滤子]]的定义。给定点x，其邻域系<math>\mathfrak{U}(x)</math>恰构成了一个滤子，称为'''邻域滤子'''。

==邻域基==
点<math>x</math>的'''邻域基'''或'''局部基'''<math>\mathcal{B}(x)</math>，就是邻域滤子<math>\mathfrak{U}(x)</math>的'''[[滤子基]]'''。它是<math>\mathfrak{U}(x)</math>的子集，满足：每个x的邻域 <math>U</math> 都存在<math>B \in \mathcal{B}(x)</math>，使<math>B \subseteq U</math>。
:（<math>\mathcal{B}(x) \subseteq \mathfrak{U}(x)</math>，使<math>\forall U \in \mathfrak{U}(x)</math>，<math>\exists B \in \mathcal{B}(x) : B \subseteq U</math>）

反之，给出邻域基<math>\mathcal{B}(x)</math>，可以反推出相应的邻域滤子：<math>\mathfrak{U}(x) =\{ U | \exists B \in \mathcal{B}(x), B \subseteq U \subseteq X\}</math>。<ref>Stephen Willard, ''General Topology'' (1970) Addison-Wesley Publishing (''See Chapter 2, Section 4'')</ref>

== 例子 ==
*一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。

*若拓扑空间''X''是[[不可分拓扑]]，则任何点 ''x'' 的邻域系是整个空间<math>\mathcal{V}(x) = \{ X \}</math>

*在[[度量空间]]中，对于任何点 ''x''，围绕 ''x'' 有半径 1/''n'' 的[[开球]]序列形成[[可数集合|可数]]邻域基 <math>\mathcal{B}(x) = \{ B_{1/n}(x) ; n \in \mathbb N^* \}</math>。这意味着所有度量空间都是[[第一可数空间|第一可数]]的。

*在[[半赋范空间]]中，就是带有由[[半范数]]引发的[[拓扑]]的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的[[平移]]来构造，
:<math>\mathcal{V}(x) = \mathcal{V}(0) + x</math>。
:这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过[[平移不变度量]]或[[伪度量]]定义的以上结论就是真的。 

*非空集合 ''A'' 的所有邻域系是叫做 ''A'' 的邻域滤子的[[滤子 (数学)|滤子]]。

*拓扑空间 ''X'' 中所有点 ''x'' 的局部基的并集是 ''X'' 的[[基 (拓扑学)|基]]。

== 参见 ==
*[[邻域]]
*[[基 (拓扑学)]]
*[[局部凸拓扑向量空间]]
*[[滤子 (数学)]]

==註釋==
{{reflist}}

{{点集拓扑}}
[[Category:点集拓扑学|L]]