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{{log(x)}}

'''邦泽不等式'''（{{lang-en|Bonse's inequality}}）為[[數論]]中的不等式，得名自H·邦泽<ref>{{cite journal |first=H. |last=Bonse |title={{lang|de|&Uuml;ber eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung}} |journal=Archiv der Mathematik und Physik |volume=3 |issue=12 |year=1907 |pages=292–295 }}</ref>，有關[[質數階乘]]和未在其[[質因數分解]]中出現的最小質數之間的大小關係。

==陳述==
若<math>p_1, p_2, \cdots, p_n</math>及<math>p_{n+1}</math>為最小的<math>n+1</math>個[[質數]]，且<math>n\ge4</math>，則有以下關係：

: <math> p_{n+1}^2 < p_1 \cdots  p_n \, </math>

這不等式是[[伯特蘭-切比雪夫定理]]的一個結果：伯特蘭-切比雪夫定理指出，<math> p_{n+1}<2p_n</math>，因此有<math> p_{n+1}^2<4p_n^2<8p_{n-1}p_n<2\times3\times5\times p_{n-1}p_n\leqslant p_1p_2...p_n</math>

==數值驗證==
以下列出一些質數之間的關係，前四行不在邦泽不等式的範圍內
:<math>{4 = 2^2 >  0 }  </math>
:<math>{9 = 3^2 >  2 = 2 }  </math>
:<math>{25 = 5^2 >  2 \cdot  3 = 6 }  </math>
:<math>{49 = 7^2 >  2 \cdot  3 \cdot  5  = 30 }  </math>
----
:<math>{121 = 11^2 <  2 \cdot  3 \cdot  5 \cdot  7  = 210 }  </math>
:<math>{169 = 13^2 <  2 \cdot  3 \cdot  5 \cdot  7 \cdot  11 = 2310}  </math>
:<math>{289 = 17^2 <  2 \cdot  3 \cdot  5 \cdot  7 \cdot  11 \cdot  13 = 30030 }  </math>
……

==推廣==
邦澤不等式已為多名數學家推廣，以下是部分數學家對邦澤不等式的推廣。

===Pósa的推廣===
Pósa在1960年證明了以下的陳述<ref>{{cite journal |author1=Pósa, L |title=Über eine Eigenschaft der Primzahlen |journal=Mat. Lapok 11|date=1960}}</ref>：

對於任意的<math>k > 1</math>而言，有一個取決於<math>k</math>的正整數<math>n_k</math>，使得下列關係對所有的<math>n \ge n_k</math>都成立：

: <math> p_{n+1}^k < p_1 \cdots  p_n \, </math>

===Sándor的推廣===
Sándor在1988年證明了以下的陳述<ref>{{cite journal |author1=Sándor, J. |title=Über die Folge der Primzahlen |journal=Mathematica (Cluj) |date=1988 |volume=30 |issue=53 |pages=67-74}}</ref>：

對於任意的<math>n\ge24</math>，有以下關係：

: <math> p_{n+5}^2+p_{[n/2]}^2 < p_1 \cdots  p_n \, </math>

其中<math>[x]</math>是[[取整函數|下取整函數]]。

===Panaitopol的推廣===
Panaitopol在2000年證明了以下的陳述<ref>{{cite journal |author1=Panaitopol, L. |title=An inequality involving prime numbers |journal=Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. |date=2000 |issue=11 |pages=33–35}}</ref>：

對於任意的<math>n\ge2</math>，有以下關係：

: <math> p_{n+1}^{n-\pi(n)} < p_1 \cdots  p_n \, </math>

其中<math>\pi(n)</math>是[[質數計數函數]]。

===Hassani的推廣===
Hassani在2005年證明了以下的陳述：

對於任意的<math>n\ge101</math>，有以下關係<ref>{{cite conference |author=Hassani, M. |title=Approximation of the product p_1p_2...p_n |booktitle=RGMIA Research Report Collection |year=2005 |volume=2}}</ref>：

: <math> p_{n+1}^{n-\pi(n)(1-\frac{1}{\log{n}})} < p_1 \cdots  p_n \, </math>

其中<math>\pi(n)</math>是[[質數計數函數]]。

===Ghosh的推廣===
Ghosh在2019年證明了以下的陳述<ref>{{cite journal |author1=Ghosh, A. |title=An asymptotic formula for the Chebyshev theta function |journal=Notes on Number Theory and Discrete Mathematics |date=2019 |volume=25 |issue=4 |pages=1-7 |doi=10.7546/nntdm.2019.25.4.1-7}}</ref>：

對於任意的<math>n\ge6</math>，有以下關係：

: <math>n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{4\log^2{n}}) < \frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} < n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}})</math>

使用[[小o符號]]，則可表如下式：

: <math>\frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} = n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}}(1+o(1)))</math>

其中<math>\vartheta(x)</math>是第一[[切比雪夫函數]]，<math>\log(x)</math>是[[自然對數]]。

==參見==
* [[質數階乘]]

==腳註和出處==
{{reflist}}

==參考資料==
*{{cite book |first=J. V. |last=Uspensky |first2=M. A. |last2=Heaslet |title=Elementary Number Theory |publisher=McGraw Hill |location=New York |year=1939 |page=87 |isbn= }}
*{{cite arXiv |last=Zhang |first=Shaohua |authorlink= |eprint=0908.2943 |title=A new inequality involving primes
 |class= |year=2009 |version=v1 |accessdate=July 7, 2012 }}

[[Category:數論相關的定理]]
[[Category:不等式]]